Real- und Imaginärteil von z = 1 / ( 1 + 1/(1-i)) -2 +3i

Question

Hallo erstmal...:=)

Wir haben seit neuem das Thema Komplexe Zahlen....allerdings verstehe ich das mit dem Real und Imaginärteil nicht so richtig. Bei einigen Aufgaben geht das noch wo ich sage, ich verstehe es. Aber dann wiederum gibt es Aufgaben wie diese, wo ich mal wieder nichts verstehe...Natürlich werden in den Klausuren keine leichten Aufgaben genommen, deshalb ist es für mich wichtig, dass ich den Sachverhalt verstehe....also warum man das so rechnet.  und es wäre mir ebenfalls sehr hilfreich wenn man es mir mit Rechenschritt erklärt, warum und wieso man das so rechnet....Ich möchte es schritt für schritt lernen und auch verstehen...

Also die komische Aufgabe lautet:

Geben Sie den Real-und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahl an!

z=$$\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 1-i }  } -2+3i$$

was mache ich jetzt mit dem "i" unter dem Bruchstrich? Wie bekomme ich das weg?

Answer 1

Hi, ich habe in der Rechnung an zwei Stellen mit der dritten binomischen Formel erweitert. Andere Rechenwege sind auch möglich.
$$ \begin{aligned} z &= \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 1-i }  } -2+3i \\\\  &= \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 1-i }\cdot \frac { 1+i }{ 1+i }  } -2+3i \\\\  &= \frac { 1 }{ 1+ \frac { 1+i }{ 2 }  } -2+3i \\\\  &= \frac { 1 }{ \frac { 3+i }{ 2 }  } -2+3i \\\\  &= \frac { 2 }{ 3+i } -2+3i \\\\  &= \frac { 2 }{ 3+i } \cdot \frac{ 3-i }{ 3-i } -2+3i \\\\  &= \frac { 2\cdot\left(3-i\right) }{ 10 } -2+3i \\\\  &= \frac { 3 }{ 5 } - \frac { 1 }{ 5 } i -2+3i \\\\  &= -\frac { 7 }{ 5 } + \frac { 14 }{ 5 } i. \end{aligned} $$

Answer 2

Versuche mal erst den Nenner auszurechnen also nur

1   +     1  /(1-i)   =   gleichen Nenner herstellen:


(1-i) / (1-i)     +    1/ (1-i)   =    Zähler +Zähler, Nenner bleibt
 
-i   /   (1-i).

Jetzt bei der gegebenen Aufgabe einsetzen, dann hast du am Anfang 1 durch einen Bruch.

durch Bruch heiß mal Kehrwert, gibt also


1 * (1-i) / -i      Den Bruch mit i erweitern gibt

i  *  (1-i)   /   -i*i     =   ( i  + i^2 )   /   -i^2    Aber i^2=-1
also
                           (i-1) / 1  =  i-1

Jetzt alles zusammenrechnen

i  -   1   -2   +  3i   =   -3   + 4i   Fertig!11+11−i−2+3i

Answer 3

z = 1 / ( 1 + 1/(1-i)) -2 +3i

z = 1 / ( (1-i)/(1-i) + 1/(1-i)) -2 +3i

z = 1 / ( (2-i)/(1-i)) -2 +3i          

z =(1-i)/(2-i) -2 +3i         | 3. Binom

z = ((1-i)(2+i)) / (4+1)   -2 +3i

z = ( 2 -2i +i +1) / 5   -2 +3i

z = ( 3-i) / 5   -2 +3i

z = 0.6 - 0.2i   -2 +3i

z = -1.4 + 2.8i

Re(z) = -1.4

Im(z) = 2.8

Kontrolle mit Wolframalpha stimmt nun hoffentlich. https://www.wolframalpha.com/input/?i=+1+%2F+%28+1+%2B+1%2F%281-i%29%29+-2+%2B3i

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1+%2F+%28+1+%2B+1%2F%281-i%29%29+-2+%2B3i+#

@Lu: In der dritten Zeile ist ein Fehler!

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Danke. Hab das schon korrigiert.

Betrachte nochmals deine letzte Zeile.

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Aha, danke, ich habe meine Antwort auch korrigiert!

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Zitat: Kontrolle mit Wolframalpha stimmt nun hoffentlich.

@Lu: Offenbar nicht.

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Zitat: Kontrolle mit Wolframalpha stimmt nun hoffentlich.

@Lu: Offenbar nicht.

hh188: Zweifelst du an WolframAlpha?