Zeigen Sie, dass die Geraden g1 ung g2 zueinander windschief sind.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Geraden

g₁:  $$\xrightarrow { r } \quad \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +\xrightarrow { s } \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \quad \left( s\epsilon \Re  \right)$$

und

g₂: $$\xrightarrow { r } \quad \left( \begin{matrix} -5 \\ 13 \\ 16 \end{matrix} \right) +\xrightarrow { s } \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right) \quad \left( t\epsilon \Re  \right)$$

a) Zeigen Sie, dass die Geraden g1 ung g2 zueinander windschief sind.

b) Ermitteln Sie die Richtung ihres Gemeinsamen Normalenvektors c)Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die die Gerade g1 und das gemeinsame Lot enthält.

Ansatz/Problem:

ich habe a) gerechnet, kann mir jemand sagen, ob ich das Richtig gerechnet habe?
also:

$$\xrightarrow { AB } =\xrightarrow { b } -\xrightarrow { a } =\quad \left( \begin{matrix} -5 \\ 13 \\ 16 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -6 \\ 11 \\ 16 \end{matrix} \right)$$

und das ist windscheif weil \( \neq 0 \)

Dann habe ich die Determinante ausgerechnet:

$$\left| \begin{matrix} 2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & 11 \\ 2 & 4 & 16 \end{matrix} \right| =102$$

ich hab das mit Satz von Sarrus gerechnet! Habe ich das bisher richtig gemacht?

Bei Aufgabe b) komme ich jetzt nicht weiter...soll ich jetzt die Richtung berechnen oder den Normalenverktor? Was wird mit dem Normalenvektor gemeint? Eine 3. Gerade?

Bei Aufgabe c) verstehe ich das mit dem Lot nicht? Was ist das, was sagt mir das aus?

Answer 1

$$ \vec g=\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$$
$$ \vec h=\begin{pmatrix} -5\\13\\16 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix}$$
Du hast lediglich die Stützvektoren harangezogen - das reicht aber nicht!
Windschief ist dann, wenn weder Parallel, noch in einer Ebene und schon garkein Schnittpunkt vorliegt.
Also prüfe, ob die beiden Vektoren eine Ebene aufspannen könnten - dazu müssten sie sich irgendwo schneiden, oder nicht ?
Um parallel zu sein, sollten die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sein - sind sie das ?

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soweit für heute - b und c machen wir morgen abend

Comments

den Rechenschritt habe ich vom Internet geguckt. Da stand man kann das auch auf die schnelle Prüfen ob es windschief ist oder nicht, weil wenn man das auf die schnelle macht, muss man ja nicht viel rechnen...
ist das also falsch? Komplett falsch??
Es ist doch windschief wenn es ungleich 0 ist, oder nicht?
ich weiß jetzt nicht was ist rechnen soll. Soll ich jetzt den Schnittpunkt ausrechnen, den winkel oder was anderes...wie geht es den am kürzesten? Wenn mein Rechenschritt falsch ist, was habe ich den ausgerechnet??

ich bin komplett durcheinander....es ist zwar nur eine Aufgabe aber auch selbst dann muss man mehr als ein Rechenschritt durchführen...soll ich jetzt t und s multiplizieren?

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$$ \vec g=\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} $$
$$\vec h=\begin{pmatrix} -5\\13\\16 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix}$$
Prüfen auf Parallelität: Sind die Richtungsvektoren voneinander linear abhängig? Das bedeutet, kann der eine durch einen Faktor multipliziert mit dem anderen dargestellt werden ?
$$  \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix} $$
Um aus 1 eine 2 zu machen, müsste lambda 2 sein - um aus Null eine 1 zu machen müsste es irgendwas sein, das es nicht gibt und um aus 4 eine 2 zu machen, müsste es 0,5 sein. Es existiert also kein Lambda, das aus dem einen Richtungsvektor den anderen machen könnte. Also sind die beiden untersuchten Vektoren nicht parallel.

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$$ \vec g=\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} $$
$$\vec h=\begin{pmatrix} -5\\13\\16 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix}$$
Können die beiden Vektoren eine Ebene aufspannen bzw. schneiden die sich irgendwo ? Dazu müsste es ein Tupel (s,t) geben, das g=h erfüllt.
$$\vec g= \vec h $$
$$ \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5\\13\\16 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix}$$
$$  s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -6\\11\\16 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix}$$
$$  s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -6\\11\\16 \end{pmatrix} $$

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$$  s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -6\\11\\16 \end{pmatrix} $$
Aus der mittleren Zeile ergibt sich, dass s=11
$$  11 \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -6\\11\\16 \end{pmatrix} $$
die oberste Zeile lautet dann also:
$$22-t=6 $$ $$ t=16 $$
demzufolge müsste die dritte Zeile aufgehen mit
$$22+16 \cdot(-4)=16 $$ $$ 22\ne 80$$ ist ja offenbar falsch, also schneiden sich die beiden Vektoren nie, womit bewiesen wäre, dass sie windschief zueinander liegen.

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Ich glaube ich bin für das Thema einfach dummm :(((
Was meinst du mit Tupel? Was ist denn das?
du hast  ja jetzt  geschrieben
$$s\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -6 \\ 11 \\ 16 \end{matrix} \right) +t\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right)$$
und
$$s\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -4 \end{matrix} \right) +t\left( \begin{matrix} -6 \\ 11 \\ 16 \end{matrix} \right)$$

ist das nicht dasselbe???

und woher kommt jetzt das? bzw. auch ggf die Vorzeichen?

$$\left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -4 \end{matrix} \right)$$

das ist doch quasi dasselbe was du geschrieben hast, und wenn g=h ist, dann kommt doch bei beiden dasselbe heraus logischer weise....

das mit Lamda habe ich ja noch einigermaßen verstanden, kann ich noch nachvollziehen. Aber danach verstehe ich wieder nichts....ich meine ok ich hab jetzt Lamda ausgerechnet, aber was mache ich denn jetzt? Wir haben ja gesagt lamda existiert nicht....und wenn ich  das jetzt so aufschreibe und rechne, dann rechne ich ja eigentlich doppelt und da kommt dasselbe heraus...

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wie kommst du auf die 22??? und bei t=16???
was rechnest du denn da? Kannst du mir vielleicht eine zeile ausführlich mit rechenschritt erklären...woher kommen die werte?

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$$ t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix} $$
wandert von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite des Gleichheitszeichens und ändert dabei seine Vorzeichen:
$$ t \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\-4\end{pmatrix} $$
Du hast das nicht richtig abgeschrieben und daher wohl auch nicht richtig umgesetzt.

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 die oberste Zeile lautet dann also:
$$ 11 \cdot 2 +t \cdot(-1)= 6 $$
$$22−t=6 $$
$$22−6=t $$
$$t=16 $$

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Ein Tupel bedeutet "Zahlenpaar".

Es gibt noch eine wesentlich flottere Methode, die zum Abprüfen der "Windschiefheit" angewendet wird, aber was ich hier gezeigt habe, ist anschaulicher und noch eher nachzuvollziehen.
Die "Formel, die du im Internet gefunden" hast, erfüllt diesen Anspruch und ist für höherdimensionale Fragen ganz sicher wichtig. Aber nur abschreiben und einsetzen hilft nicht zu verstehen, was da abläuft. Schliesslich muss ja noch interpretiert werden, was da rauskommt und virtuoser Umgang mit Matrizen ist da gefordert.
Wie ich sehe, klemmts ja bei Dir noch bei recht simplen Gleichungsumformungen - da ist die "einfachere" Methode mit Matrizen zu gefährlich finde ich.

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es gibt schon einige Themen in Mathe die ich kann....z.B kann ich Komplexe Zahlen. Als ich verstehe das einigermaßen. Aber Vektoren ist ein Thema, das mich enorm durcheinander bringt. Mal muss man so rechnen, mal anders...ich weiß manchmal einfach nicht was von mir erwartet wird. Bzw. was ist rechnen soll...

Wobei ich muss noch sagen, das Forum ist echt gut. Ich habe schon einige Sachen von euch gelernt. Und das gute ist, ich kann immer wieder nachfragen kann, warum und wieso man das z.B so rechnet....und das  Ihr wirklich mit  Geduld versucht zu helfen ist schon eine andere Sache...vielen Dank erstmal dafür :=)

Also soll ich das immer so rechnen wie du es gemacht hast? Auf die schnelle kann man es ja auch prüfen, aber ich glaub du hast recht, ausführlich ist es immer gut!!

sind wir jetzt mit a) fertig! Wir haben ja jetzt bewiesen, dass Sie windschief sind....und wie rechnen wir jetzt den gemeinsamen Normalenvektor ( Aufgabe b). Kann man vielleicht hier mein Rechenweg nehmen, dass was ich am Anfang gerechnet hatte??

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b) gesucht ist der gemeinsame Normalenvektor. Normale bedeutet Senkrechte. Das heisst, es soll eine Gerade geben, die senkrecht auf den beiden windschiefen liegt. Ist das denn überhaupt möglich ? Das zeigen wir gleich:
$$\vec g=\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$$
   $$\vec h =\begin{pmatrix} -5\\13\\16 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\4\end{pmatrix} $$
Die Geradengleichung für die Normale setzen wir so an:
   $$\vec n =\begin{pmatrix} u_x\\u_y\\u_z \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} w_x\\w_y\\w_z\end{pmatrix} $$
Da die gemeinsame Normale zu den Geraden g und h senkrecht steht, muss das jeweilige Skalarprodukt Null ergeben:
$$ \vec g \cdot \vec n =0 $$
UND
$$ \vec h \cdot \vec n =0 $$

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sooo ich habe jetzt die Normale gerechnet. Hoffe auch es richtig gemacht zu haben...
$$s\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) *t\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right)$$
ich hab das mit dem Kreuzprodukt gerechnet.
aber wenn ich das jetzt mit $$\xrightarrow { g } und\quad \xrightarrow { h }$$ multipliziere,, sprich auch wieder mit dem Kreuzprdukt rechne bekomme ich das hier heraus, aber nicht 0!!!!
$$\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ -14 \end{matrix} \right)$$
und
$$\left( \begin{matrix} -5 \\ 13 \\ 16 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 83 \\ 59 \\ -22 \end{matrix} \right)$$

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https://de.wikipedia.org/wiki/Windschiefe

Da ist die Vorgehensweise einfach dargestellt - ich hab das wohl zu kompliziert angefangen. Sorry

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Ist das ganze falsch? :((

Wie rechnet man das denn jetzt?

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Normalenvektor bekommt man durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$$ \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right) $$
Probe mit Skalarprodukt:
$$ \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \circ\left( \begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right) =0 $$
bzw.
$$  \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 4 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right)=0 $$

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Wobei noch festzustellen ist, dass der Normalenvektor lediglich der Richtungsvektor ist - die Geradengleichung für die Normale durch beide Vektoren erfordert noch einen passenden Stützvektor, der die oben gestern von mir gepostete Gleichungssystematik erfüllen muss. Diesen bestimmt man durch den Lotfusspunkt.

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erstmal vielen Dank für deine Gedult...

ich weiß, es hackt einfach bei mir, aber versprochen, wenn ich eine Gute Note schreibe in Mathe, werde ich das hier ankündigen :=)  Danke für deine Gedult!

Also den Lotfusspunkt habe ich im Internet mit angeguckt und versucht das ganze mit meinen Werten zu rechnen. Ich sage schonmal von vorne aus, ich habe ein Fehler, aber weiß nicht wo genau, weil ich nur von den 2 unbekannten nur einen herausgefunden habe....

Allgemeiner Geradenpunkte lauten:

Fg: (1+2s/ 2+1s/ 2s)  = das die gerade 1

Fh:( -5+1t/ 13/ 16+4t)

$$\xrightarrow { FgFh } =\quad \xrightarrow { fg } -\xrightarrow { fh } =\quad \left( \begin{matrix} -5+1t \\ 13 \\ 16+4t \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 1+2s \\ 2+1s \\ 2s \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -6-s \\ 11+1s \\ 2s \end{matrix} \right)$$

Aus Orthogonalitätsbedingung ermitteln wir das Gleichungssystem

$$\xrightarrow { FgFh } *\xrightarrow { u } =0\quad$$

$$\xrightarrow { FgFh } *\xrightarrow { u } =0\quad =\left( \begin{matrix} -6-s \\ 11+1s \\ 2s \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) =(-6-s)*2+(11+s)1+(2s*2)=0$$

dann habe ich ausmultipliziert und zusammengefasst

-12-2s+(11+1s)+(4s)=0

= -12-2s+(11+1s)

=1-1s=0

$$\xrightarrow { FgFh } *\xrightarrow { u } =0\quad =\left( \begin{matrix} -6-s \\ 11+1s \\ 2s \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right) =0$$

= -6-s+4s=0

=-6+3s=0

1-1s=0\quad \left| *6 \right

-6-s+3s=0\left| *-1 \right 

6-6s=0

6-3s=0

die 6 fällt ja weg und dann hat man 3s übrig, das auf die andere Seite ergibt für s=3

stimmt das?

FORUM ADMIN. SEIT GESTERN FUNKTIONIERT BEI MIR ÜBERHAUPT NICHTS: dAS FORELEDITOR ERST GARNICH. ICH KANN KEINE VEKTOREN EINFÜGEN SONST ANDERS AUCH NICHT. ES FUNKTIONIERT MIR DEM DOLLAR ZEICHEN NICHT ABER AUCH OHNE NICHT; BITTE KORRIEGEN