Die lineare Hülle
Wenn du Vektoren mit n Einträgen gegeben hast, dann kannst du ihre lineare Hülle betrachten.
Was ist das?
Diese Menge besteht aus allen Vielfachen der Vektoren und deren Summen, ist also die Menge aller möglichen Linearkombinationen, die mit den gegebenen Vektoren gebildet werden können.
Die lineare Hülle wird manchmal auch Erzeugnis oder Spann genannt.
Sie steht im engen Zusammenhang mit Erzeugendensystemen von Vektorräumen, da die gegebenen Vektoren ja genau das Erzeugendensystem darstellen, denn mit ihnen “baut” man die Lineare Hülle.
Man nennt die gegebenen Vektoren von daher oft auch erzeugende Vektoren.
Die lineare Hülle taucht auch im Zusammenhang mit dem Bild einer Matrix auf.
Untervektorraum
Die lineare Hülle ist übrigens immer ein Untervektorraum des Vektorraums aus dem die Vektoren sind. Siehe dazu das 1. Beispiel.
Basis und Dimension
Um die Basis einer linearen Hülle zu bestimmen, sucht man die Vektoren heraus, die linear unabhängig sind.
Kennt man die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, so ist genau das die Dimension der Linearen Hülle.
Möchte man die Dimension einer linearen Hülle berechnen, geht man am Besten wie hier beschrieben vor.
Aufgaben zu dieser Problematik findest du z.Bsp. hier und hier.
Eine weitere Aufgabenstellung ist oft, ob ein bestimmter Vektor in einer linearen Hülle enthalten ist oder nicht - zum Glück kriegt man das leicht heraus.
Schreibweisen
Hier gibt es wie immer mehrere Varianten - hat man eine Menge von Vektoren gegeben
\( M=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \)
So kann man entweder
$$ \mathcal{L}(M)=\mathcal{L}\left(\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}\right) $$
oder
$$ \langle M\rangle=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle $$
oder aber auch
$$ \left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle=\left\{a_{1} v_{1}+\ldots a_{n} v_{n} \mid a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}\right\} $$
schreiben, um die lineare Hülle formal aufzuschreiben.
