sind meine linksinversen auch rechtsinvers?

Question

ich brauch eure hilfe:

ich will zeigen dass es meine linksinversen elemente auch rechtsinverse sind
und benutze dazu das neutrale element.
die aufgabe gibt es ähnlich bei wiki aber ich würde in der rechnung gerne durch umformungen und so auf
m^-1*m=e=m*m^-1 kommen.  gegeben ist m^-1*m=e für alle m∈M, e ist das neutrale Element.
Ich dreh mich dabei aber im im kreis.

mein ansatz ist: sei m^-1 invers zu m und sei (m^-1)^-1 invers zu m^-1
ich weiß, dass m^-1*m=e und ich weiß, dass (m^-1)^-1*m^-1=e

ich hab tausendmal im kreisgerechnet. kriegt es ein von euch hin? freu mich über hilfe
liebe grüße

Answer 1

die Betrachtung des linksinversen \( (m^{-1})^{-1} \) zu \(m^{-1} \) ist ein guter Weg:

$$ m^{-1}m = e $$

$$ (m^{-1})^{-1}m^{-1}m = (m^{-1})^{-1}e = (m^{-1})^{-1}$$

$$ m = (m^{-1})^{-1} $$

Somit ist \(m\) also das Linksinverse zu \(m^{-1} \) oder anders formuliert

$$ m^{-1}m = e = mm^{-1} $$

was bedeutet, dass \(m^{-1}\) auch rechtsinvers zu \(m\) ist.

Gruß

Comments

vielen dank :) habs dank dir jetzt verstanden