Sekantengleichung bestimmen: f(x)=x³+x²+x+42

Question

Folgende Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion R -> R mit f(x)=x³+x²+x+42

Geben Sie die Gleichung der Sekante durch die Punkte (-1,f(-1)) und (1,f(1)) an. Finden Sie alle x Element R, so dass die Steigung der Tangente an den Graphen von f in (x, f(x)) gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte (-1, f(-1)) und (1, f(1)) ist.

Die Punkte lauten ausgerechnet: (-1, 43) und (1, 45)

Um die Sekantengleichung auszurechnen, habe ich das m so ermittelt: (45+1) / (43-1) = 23/21
Dann habe ich die Steigung in die Formel y=mb+b eingesetzt und einen Punkt ebenso.
Dann habe ich zum Schluss b= 922/21 und somit die Sekantengleichung y= 23/21x + 922/21
Ist das bis hierhin richtig?

Den zweiten Teil bekomme ich leider nicht hin.

Comments

Du hast die Steigung falsch berechnet! Richtig wäre y-Differenz durch x-Differenz.

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ok also 2 :-)

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f(-1) = 41

f(1) = 45

Sekantensteigung m = (45-41)/ (1-(-1)) = 4/2 = 2

f '(x) = 2

3x^2+2x+1 = 2

3x^2+2x-1 = 0

x1 = -1

x2 = 1/3

Answer 1

f ( x ) = x^3 + x^2 + x + 42
Geben Sie die Gleichung der Sekante durch die Punkte (-1,f(-1)) und (1,f(1)) an.
f ( 1 ) = 1 + 1 + 1 + 42 = 45
f (-1 ) = -1 + 1 -1 + 42 = 43

( 1  | 45 ) ( -1 | 43 )

m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 45 - 43 ) / ( 1 - ( -1) ) = 2 / 2
m = 1

y1 = m * x1 + b
45 = 1 * 1 + b
b = 44

zur Kontrolle
43 = 1 * ( -1) + 44

y = x + 44

Soviel zur Sekante

Comments

Teil 2 :
es wird gefragt in welchem Punkt die Tangentensteigung = Sekantensteigung = 1 ist

f ( x ) = x³ + x² + x + 42
f ´( x ) = 3 * x^2 + 2*x + 1
3 * x^2 + 2*x + 1 = 1
3 * x^2 + 2 * x = 0
x * ( 3 * x + 2 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
x = 0
3 * x + 2 = 0
x = - 2 / 3

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@Georg:

f(-1) = 41

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Korrektur :

f ( x ) = x³ + x² + x + 42
Geben Sie die Gleichung der Sekante durch die Punkte (-1,f(-1)) und (1,f(1)) an.
f ( 1 ) = 1 + 1 + 1 + 42 = 45
f (-1 ) = -1 + 1 -1 + 42 = 41

( 1  | 45 ) ( -1 | 41 )

m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 45 - 41 ) / ( 1 - ( -1) ) = 4 / 2
m = 2

y1 = m * x1 + b
45 = 2 * 1 + b
b = 43

zur Kontrolle
41 = 2 * ( -1) + 43   | stimmt

y = x + 44

Soviel zur Sekante

Teil 2 :
es wird gefragt in welchem Punkt die Tangentensteigung = Sekantensteigung = 2 ist

f ( x ) = x³ + x² + x + 42
f ´( x ) = 3 * x² + 2*x + 1
3 * x² + 2*x + 1 = 2
3 * x² + 2 * x = 1
pq-Formel oder quadratische Ergänzung
Schaffst du das ?

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@Georg:

Hier hast du dich vertippt:

m = ( 45 - 41 ) / ( 1 - ( -1) ) = 2 / 2

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korrigert. fülltext.