Zeigen, dass ein q1, q2 Element der Rationalen Zahlen existiert

Question

ich soll in einer Aufgabe zeigen, dass q₁ und q₂ ∈ ℚ Existieren.

Es seien q₁ und q₂ ∈ ℚ mit q₁ < q₂ . Zeigen Sie, dass ein x ∈ ℝ\ℚ mit  q₁ < x < q₂ existiert.

Soll man sich nun einfach ein x rauspicken?

Z.b. 1/2 < 1,3958473786 < 2/1

Wie kann man zeigen, dass so ein x existiert?

Answer 1

Es seien q₁ und q₂ ∈ ℚ mit q₁ < q₂ . Zeigen Sie, dass ein x ∈ ℝ\ℚ mit  q₁ < x < q₂ existiert.

Das x soll ja eben gerade keine rationale Zahl sein, sondern aus IR \ Q , also
irrational.  Du kennst ja sicherlich mindestens eine irrationale Zahl, z.B. Wurzel aus 2.
Für die Aufgabe wäre es schön eine irrationale zu haben, die
kleiner als 1 ist.  Das wäre z.B.     1/√(2).
Jetzt rechnest du einfach aus wie weit es von q1 nach q2 ist, das ist   q2-q1.

Wenn du jetzt diese Zahl mit 1/√(2) multiplizierst, hast du sicherlich etwas, dass
weniger als q2-q1 ist.
Dann rechne    x=     q1  +  (q2-q1)*1/√(2)

Das ist jedenfalls irrational, denn
(q2-q1)*1/√(2)   ist irrational, weil rational durch irrational
immer irrational ist.
Und  q1 +  irrational gibt auch was irrationales.
Damit ist x eine irrationale Zahl zwischen q1 und q2.    q.e.d.

Answer 2

das wäre schon mal falsch, den Deine gewählte Zahl ist ja \( \in \mathbb{Q} \) und Du brauchst ja eine für die gilt \( x \notin \mathbb{Q} \)

Comments

ℚ sind ja die Rationalen Zahlen, die man mit p/q (p,q ∈ ℤ) darstellen kann, oder irre ich mich da?

Wie kann man 1,3958473786 als Bruch mit ganzen Zahlen darstellen?

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$$ \frac{1395847379}{1000000000} $$

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Hmm. Da hast Du recht. So schlau war ich da nicht, tut mir leid.

Also nehmen wir als x = √6

Diese wäre dann irrational.

Aber was kann ich nun damit anstellen?

Man könnte es so sehen:
q₁ = 1/1
q₂ = 4/1
x = √6

Also gilt: 1/1 < √6 < 4/1

Aber was ist da nun zu zeigen für die Aufgabe?