Summenzeichen und logische Schlussfolgerung

Question

Aufgabe:

$$ \sum_{ j=2 }^{ k }{ \frac { 1 }{ j(j+1) } } = \frac { k-1 }{ 2(k+1) } \text{ für ein } k \epsilon N, ~ k \ge 2 \Longrightarrow \sum_{j=2}^{k+1}{ \frac{1}{ j(j+1) } } = \frac { k }{ 2(k+2) } $$

Irgendwelche Tipps?

Ich dachte ich kann j = 2 einsetzen und nach k auflösen.......oder geht das nicht?

Comments

Nein, das geht natürlich nicht. Vielleicht könntet Du mal in der zweiten Summe den letzten Summanden abspalten. Die Restsumme kannst Du dann durch die rechte Seite der ersten Gleichung ersetzen. Schließlich musst Du noch gucken, ob diese neue Gleichung denn stimmt.

Answer 1

Der Tipp mit dem aufspalten meint

Summe von j bis k+1  =    summe von j bis k   +  (k+1)-ter Summand
                                     =  (k-1) / (2*(k+1)                +    1 /  ((k+1)*(k+2))

Die beiden Brüche addieren und dann kommt raus   k  /  2(k+2)

Comments

Soll das k/2(k+2) der Nachweis für die Korrektheit der Schlussfolgerung sein??

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Das ist das Ergebnis, das laut Formel für die Summe bis n+2 rauskommen soll.