Aloha :)
Führe eine Indexverschiebung durch, d.h. lasse die Summation über \(k\) bei \(0\) beginnen und ersetze dafür in den Summanden \(k\) durch \((k+1)\):$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}-\frac{1}{2n+2}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+(k+1)}-\frac{1}{2n+2}$$Jetzt nimmst du den Summand für \(k=0\) aus der Summe heraus und rechnest wie folgt:
$$=\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n+(k+1)}+\frac{1}{n+(0+1)}\right)-\frac{1}{2n+2}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n+k+1}+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}\right)$$$$=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n+k+1}+\left(\frac{2}{2n+2}-\frac{1}{2n+2}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n+k+1}+\frac{1}{2n+2}$$
