Beweise: Umkehrfunktion von einer streng monoton wachsenden funktion ist ebenfalls streng monoton wachsend

Question

Meiner versuch

f(x)=y=e^{x}

f(c)^{-1}=y=ln(x)

f(x1)<f(x2)

f^{-1}(x1)<f^{-1}(x2)

Aber wie ich es allgemein zeigen kann weiss ich nicht.

Answer 1

Was bedeutet eine Umkehrfunktion geometrisch im Koordinatensystem. Wie kannst du durch eine Abbildung im Koordinatensystem die Umkehrfunktion einer Funktion ermitteln?

Wenn du das nicht weißt zeichne eventuell mal ein paar Funktionen und ihre Umkehrfunktionen.

Wenn du es weißt dann überlege dir was geometrisch mit der Steigung passiert, wenn ich diese auf die Umkehrfunktion abbilde.

Nimm vielleicht mal als Funktion

f(x) = 2^x und f^{-1}(x) = LOG2(x) = LN(x)/LN(2)

Ermittel dann die Steigungen von f(x) in bestimmten Punkten und die Steigung von f^{-1}(x) in den entsprechenden Punkten. Wie verhalten sich die Steigungen zueinander. Kannst du das begründen.

Wenn die Original-Funktion also an einer Stelle eine positive Steigung hat, kann dann am entsprechenden Punkt der Umkehrfunktion eine negative Steigung sein? Wenn nein warum nicht?

Comments

Eibe umkehrfunktion spiegelt s8ch an der erszen winkel halbierende also y=x.

Die steigung wird f'(x)=1/x.

Umgekehrt also von m zu 1/m.

f(x)=2^{x}     f'(3)=5.5

f^{-1}(x)=lnx/ln2  f^{-1}'(3)=0,33.

Ich weiss n8cht sorecht wie 8ch es zeigen kann.

g(x)=e^{x}  g'(x)=e^{x}

g^{-1}=ln(x)  g^{-1}'(x)= 1/x

So weiter wueeste ich grad nicht.^^

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Die Aussage gilt sogar für nicht-differenzierbare Funktionen

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Das sieht doch schon gut aus.

Ich zeichne mal die von mir vorgeschlagenen Funktionen.

Wir sehen die Spiegelung recht deutlich. Und von die Original Funktion die Steigung m hat hat die Spiegelung in dem Punkt die Steigung 1/m.

Kann also irgendwann 1/m negativ werden, also monoton fallend sein, wenn die Steigung m immer nur positive Werte annehmen kann? Wenn m positiv ist kann 1/m nicht negativ werden.

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Ja das verstehe ich ja auch

Das ist mir auch klar^^

Ich scheitere nur daran es mathematisch zu zeigen;)

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Ok sei y1 = f(x1) und y2 = f(x2)

Was gilt jetzt jetzt für eine Streng monoton steigende Funktion? Es gilt wenn x1 > x2 dann ist auch y1 > y2.

Gilt jetzt nicht aber auch die Umkehrung das wenn y2 > y1 dann auch x2 > x1 ist?