Question

Zeigen Sie, dass für die Fibonaccizahlen \( f_{n} \) gilt

\( f_{n}^{2}-f_{n-1} f_{n+1}=(-1)^{n-1} \)

Comments

Ich rege an, das mit Induktion zu versuchen - zunächst mit n=3 als Beginn und dann nur für ungerade n zeigen, dass -1 gilt. Danach mit n=4 als Beginn und für alle geraden n zeigen, dass +1 gilt.

Answer 1

Hi,
das zeigst Du am besten mit vollständiger Induktion.
$$ (1) \quad f_2^2-f_1 \cdot f_3=1-1 \cdot 2=-1=(-1)^{2-1}  $$
Der Induktionsanfang stimmt also. Jetzt ist also zu zeigen
$$  f_{n+1}^2-f_nf_{n+2}=(-1)^n $$
und das geht so
$$ f_{n+1}^2-f_nf_{n+2}=(f_n+f_{n-1})^2-f_n(f_{n+1}+f_n)=$$
$$ 2f_nf_{n-1}+f_{n-1}^2-f_nf_{n+1}=2f_nf_{n-1}+f_{n-1}^2-f_n(f_n+f_{n-1})=  $$
$$ f_nf_{n-1}+f_{n-1}^2-f_n^2=f_{n-1}f_{n+1}-f_n^2=(-1)^n  $$
wegen der Induktionsvoraussetzung