Zahlenfolge, Fibonacci-Folge: Zeigen, dass für allgemein gilt: f2+f4+f6+...+f2k=f(2k+1)-1

Question

Zeigen, dass für die Folgenglieder der Fibonacci-Folge allgemein gilt:

f₂+f₄+f₆+...+f_2k=f_2k+1-1, wobei k∈ℕ

Answer 1

Definition Fibonacci-Zahlen. f(n): = f(n-1) + f(n-2). f(0) =0. f(1) = 1.

Man berechne so ein paar Zahlen. f(2) = 1. f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = 5, f(6) = 8, f(7) = 13

Ich lasse im Folgenden Klammern weg, wenn Index aus einem Symbol.

Behauptung:

f2+f4+f6+...+f2k=f(2k+1)-1

Beweis mit Induktion.

Verankerung: 

f2 = f3 -1? 1 =  2-1 ok.

Induktionsschritt:

Ind. vor. f2+f4+f6+...+f2k=f(2k+1)-1

Ind. beh. f2+f4+f6+...+f2k + f(2k+2) = f(2k+3)-1

Beweis.

 f2+f4+f6+...+f2k + f(2k+2)

                    |Ind. vor.

= f(2k+1) - 1 + f(2k+2) 

=f(2k + 1) + f(2k+2) - 1

            | Achtung Vergleich mit Definition f(n): = f(n-1) + f(n-2)

            | n-2 = 2k+1, n-1 = 2k+2. D.h. n = 2k+3 

= f(2k+3)-1

qed Indukionsschritt.