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hallo ihr lieben,

ich stecke wieder einmal in der klemme...induktionsaufgaben sind ja echt eklig und dann auch noch sowas:


Es seien n verschiedene Kreise in die Ebene gezeichnet, die die Ebene in verschiedene Regionen zerlegen.

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass man diese Regionen stets schwarz oder weiß färben kann,

ohne dass zwei aneinander grenzende Regionen dieselbe Farbe erhalten. Zwei Gebiete gelten als aneinander

grenzend, wenn sie durch ein Kreissegment getrennt sind.

Hat vielleicht jemand eine Idee?!??? :/


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Naja für einen Kreis in der Ebene gilt das sicher.

Legen wir jetzt einen weiteren Kreis in die Ebene und negieren in diesem Kreis alle Farben, dann können an dem Rand des neuen Kreises keine angrenzenden Flächen die gleiche Farbe haben, weil wir ja alle Übergänge negiert worden sind.

Damit müsste das doch eigentlich gezeigt sein oder nicht?

mmh^^wenn man das so einfach niederschreiben kann, wäre das ja ein traum :)

Deswegen nur ein Kommentar. Ich weiß nicht wie man das mathematisieren kann :(

okay :) dennoch vielen lieben dank für deine mühe!

Heißt doch sicher:

Zwei Gebiete gelten als NICHT !!! aneinander

grenzend, wenn sie durch ein Kreissegment getrennt sind.

Ja. Das lautet sicher so. Aber vielleicht kannst du auch etwas zur eigentlichen Aufgabe beitragen.

1 Antwort

+1 Daumen
formelisiert könnte das doch so heißen:

für n=1 hat man einen Kreis und das Gebiet außerhalb des Kreises.
Also mit 2 Farben ok.

Sei die Aussage für n Kreise immer wahr.
[Dann ist zu zeigen, dass sie auch für n+1 Kreise gilt.   ]

Seien nun n+1 Kreise gegeben, so wähle einen davon aus und
nimm ihn weg.
Für die Figur mit den restlichen n Kreises wird die Färbung.
durchgeführt, was nach Induktionsannahme möglich ist.
Dann wird alles, was im inneren des nicht beachteten Kreises
lag umgefärbt (negiert, s. Kommentar).

Da im Inneren die Färbung vorher korrekt war, ist sie es
auch nachher (also keine gleichgefärbten Nachbarn)
ebenso außen keine gleichgefärbten Nachbarn, da es
vorher korrekt war und alles gleich geblieben ist.

Die durch den n+1 Kreis entstandenen neuen Gebiete
sind aus einem alten Gebiet dadurch entstanden, dass
sie durch den n+1 -ten Kreis in zwei Gebiete zerlegt worden
sind, eines im Inneren und eines im Äußeren des n+1 -ten
Kreises. Also ist ein Teil umgefärbt worden und der
andere Teil nicht, also sind auch dort keine gleichgefärbten
Nachbarn entstanden.
Also ist so die Figur mit den n+1 Kreisen korrekt färbbar.
Avatar von 289 k 🚀

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