Gesucht sind das globale Maximum und Minimum der Funktion

Question

der funktion f(x) =  x²  e^-x 

^a.)  auf den maximalen Definitionsbereich

b.) auaf I = [-1;1 ]  ( sofern sie jeweils existieren

die Extrempunkte muss ich mir ausrechnen, nicht ?

also zuerst ableiten und die erste aleitung 0 setzen

Answer 1

ja das ist richtig. Deine Aufgabe ist es abzuleiten und so die Extrema zu finden. Vergiss nicht die Ränder zu betrachten ;). Probiers.

Grüße

Comments

das  bsp schaff ich nicht

f´(x)  2x (e^-x)+ e^-x x² f´(x) = 0

nun x heraus heben ??

x ( 2e^-x *xe^-x ) = 0 ???

wie muss ich rechnen damit ich die ränder beachte, kann das nicht nachvollziehen

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Die Ableitung ist nicht ganz richtig. Wie lautet die Ableitung von e^{-x}?

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(e^-x )´=e^{-x    hätte ich gedacht}

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Das ist leider falsch. Die innere Ableitung ist zu berücksichtigen. Die innere Funktion ist -x und so brauchts -1 als Faktor.

f'(x) = x^2*e^{-x}

f'(x) = 2x*e^{-x} - x^2*e^{-x}

Nun 0 setzen. Bedenke -> die e-Funktion wird nie 0 werden.

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f(x)' = 2x ( e ^-x ) + ( -1 ) x^2

stimmt das ?  e^-x ist als ableitung -1

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Nope, die Ableitung hatte ich Dir doch hingeschrieben? ;)

Nur die innere Ableitung ist -1. Die äußere aber verbleibt. Wir haben also noch e^{-x} als Faktor.

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ich habs  endlich verstanden das war nur die inner ableitung von e^-x

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Yup :) \(     \).

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könntest du mir den nächsten schritt vielleicht zeigen

komm echt nicht weiter

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Die Ableitung Null setzen ;). Ein paar Tipps dafür hatte ich Dir gegeben :).

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-1 = x kann das stimmen sie wird auf jedenfall nie 0

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Nope:

f'(x) = 2x*e^-x - x²*e^-x = 0

xe^{-x} * (2-x) = 0
Nun faktorweise anschauen:

x₁ = 0 und x₂ = 2

Das sind die Stellen für die die Extrema in Frage kommen. Kannste nun mit der zweiten Ableitung überprüfen ;).

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xe^-x  hast du heraus gehoben ok ...

f '' x = - x e^-x ( 2 -x )  - x e ^{- x}    

Ableitung richtig ? :S

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Nein, das war doch nur ein Faktor.

Die Ableitung war:

f'(x) = 2x*e^{-x} - x^2*e^{-x}

(und wenn man sie faktorisiert ergibt sich: f'(x) = xe^{-x} * (x-2) )

Die zweite Ableitung kannst Du wieder mit der Produktregel rechnen. Dabei beide Summanden gerne getrennt betrachten. Du solltest kommen auf:

f''(x) = (x^2-4x+2) * e^{-x}

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f´(x)= 2 x ( e ^-x ) - e^-x * x^{2   PRODUKTREGEL}

^- ( e^-x  ) e^-x *x² +  ( +e^-x *2x )   2x  ( e^-x )

-e ^-x * e^-x  x² + e^-x 2x (2x e^-x)

ab hier bricht wiedermal alles zam  AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

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mich würde ja am Meisten interessiern was mit diesem Punkt in diesem bsp gemeint ist

b.) auf I = [-1;1 ]  ( sofern sie jeweils existieren)  

wofür steht I ?????

muss ic hdie punkte in der grafik eingeben oder was sonst ?

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Eher so:

f'(x) = 2x*e^-x - x²*e^-x

f''(x) = 2*e^{-x} - 2x*e^{-x} - 2x*e^{-x} + x^2*e^{-x} = (x^2-4x+2) * e^{-x}

Die ersten beiden Summanden sind die Ableitung des ersten Summanden. Und die letzten beiden Summanden sind die Ableitung des zweiten Summanden.

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Ich sage es ungern, aber ich befürchte Du solltest Dir unbedingt eine Nachhilfe suchen. Es ist deutlich einfacher, wenn ein Gegenüber direkt mit Dir aufs Blatt schauen kann. Und Du arbeitest doch schon relativ fortgeschritten, hast aber sehr starke Probleme mit den Grundlagen. Da ist auch mit dem Forum nicht aufzufangen. Hoffe Du nimmst mir die Worte nicht bös, sondern zu Herzen :).

Grüße

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I ist nur ein Buchstabe. Da hätte auch M oder Z stehen können. I steht wohl für Intervall und da war I eben passend ;). Aber von der b) sind wir noch weit entfernt. Es braucht noch die a)

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ich wieß ich bim mir meiner Problemchen in klaren.

Das Forum hilft mir aber trotzdem auch. ab und zu hilft mir ein Freund der sehr gut in Mathe ist ! Da sitzen wir auch immer einpaar stunden xD

ich werde einfach mal die Grundlagen selbst von Büchern lernen.

das ich beim ableiten fehler mache ist wirklich erbärmlich . Bin bereits im Studium :(

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könntest du mir das hier nur farblich markieren wo dein f´ g f und g´sind

f'(x) = 2x*e^-x - x²*e^-x    f          g    ???   oder hast du 2x als f und e^-x als g genommen

f''(x) = 2*e^{-x} - 2x*e^{-x} - 2x*e^{-x} + x^2*e^{-x} = (x^2-4x+2) * e^{-x}

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Ich habe erst 2x*e^{-x} betrachtet. Die Ableitung ergibt: 2*e^-x - 2x*e^-x

Dann habe ich - x²*e^-x betrachtet, was auf  - 2x*e^-x + x²*e^-x führt.

Versuche selbst zu entziffern, wie die Produktregel verwendet wurde ;).

Ich bin allerdings nun im Bett. Schaue es mir am Morgen an.

Gute Nacht

ich werde einfach mal die Grundlagen selbst von Büchern lernen.

das ich beim ableiten fehler mache ist wirklich erbärmlich . Bin bereits im Studium :(

Ich weiß nicht, ob selbstlernen ausreichend sein wird. Du solltest Dir für die Grundlagen wohl des Öfteren Deinen Freund schnappen. Damit die Grundlagen wieder in Schwung kommen ;).

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ich habs geschaftft

wenn ich aber( -2x )+ ( -2x ) berechne wäre 4x² falsch nicht ?

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Sehr schön! :)

Ja, das wäre falsch. Da solltest Du auf -4x kommen ;).

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was ist nun mein nächster schritt ?

jetzt hab ich die erste und zweite ableitung

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Also wir haben nun folgendes:

f'(x) = 2x*e^-x - x²*e^-x

f''(x) = (x²-4x+2) * e^-x

Zudem haben wir die Nullstellen der ersten Ableitung:

x₁ = 0 und x₂ = 2

Damit gehen wir nun in die zweite Ableitung. Wir werden feststellen:

f''(0) > 0  -> Minimum

f''(2) < 0  -> Maximum

Nun die y-Werte bestimmen, indem man das in f(x) einsetzt:

S(0|0) und P(2|0,54)

Nun müssen wir uns noch das Verhalten der Funktion anschauen.

Für x -> -∞ wird die Funktion gegen ∞ laufen (versuche das nachzuvollziehen)

Für x -> ∞ wird die Funktion gegen 0 laufen.

S ist damit offensichtlich ein globales Minium. Es gibt keinen Wert der kleiner ist, also 0. Für das Maximum können wir P aber nur als lokal angeben, da der linke Rand gegen unendlich entflieht ;).

Damit ist die a) erledigt und wir kommen zur b).

Für das Minimum ändert sich nichts, da das in dem Intervall liegt. Allerdings muss man sich jetzt mal anschauen was für die Ränder passiert und was nun das globale Maximum ist :). Bestimme die y-Werte an den Intervallsrändern.