Zeigen Sie, dass Aussage 1 (Q liegt dicht in R) äquivalent zur Aussage 2 ist.

Question

Zeigen Sie, dass die Aussage aus Satz \( 3.15(\mathbb{Q} \) liegt dicht in \( \mathbb{R} \) )

(1) Für alle \( x \in \mathbb{R} \) und alle \( \varepsilon>0 \) existiert ein \( q \in \mathbb{Q} \) mit \( q \in] x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \). äquivalent zur folgenden Aussage ist:

(2) Für alle \( x \in \mathbb{R} \) exisitert eine Folge \( \left(q_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( \mathbb{Q} \) mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} q_{n}=x \).

Hinweis: Betrachten Sie für die Hinrichtung \( \varepsilon=\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 \)

Ansatz:

Die erste Aussage sagt mir, dass für alle reellen Zahlen mit einer ε-Umgebung > 0 eine rationale Zahl existiert die in dieser ε-Umgebung liegt. Die zweite Aussage sagt mir, dass für alle reellen Zahlen eine rationale Folge existiert, die als Grenzwert eine reelle Zahl hat. Für mich ist die erste Aussage eine Umschreibung für einen Grenzwert.

Ich weiß nur nicht, wie ich das ganze formell beweisen soll.

Answer 1

Hallo,

die Rückrichtung: Es sei \( q_n \) eine Folge in \( \mathbb{Q} \), die gegen \( x \) konvergiert. Für \( \varepsilon > 0 \) existiert also ein \( N \), sodass \( | q_n - x | < \varepsilon \) für alle \( n > N \). Wir wählen \( q \) aus den Folgengliedern \( q_n \) mit \( n > N \).

Hinrichtung: Wir wählen \( \varepsilon_n = \frac{1}{n} \) und \( q_n \in (x-\varepsilon_n, x+\varepsilon_n) \) beliebig. \( q_n \) konvergiert dann gegen \( x \).

Grüße

Mister