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Aufgabe:

3. Auf ℝ betrachten wir folgende Relation
x ∼ y : ⇐⇒ x−y ∈ ℚ.
Zeigen sie: Für alle x ∈ ℝ liegt ⟨x⟩ dicht in ℝ, d. h. die Menge der Häufungspunkte von ⟨x⟩ ist gleich ℝ.

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Sei \(\langle x \rangle\) eine Äquivalenzklasse. Ich will zeigen,

dass \(\overline{\langle x \rangle}=\mathbb{R}\) ist.

Sei dazu \(z\in \mathbb{R}\). Da \(\mathbb{Q}\) dicht in \(\mathbb{R}\) ist,

gibt es eine Folge rationaler Zahlen \(q_n\) mit \(\lim q_n = z-x\).

Dann ist \(z_n:=x+q_n\sim x\), also \(z_n \in \langle x \rangle\) und

es gilt \(\lim z_n=x+\lim q_n = x+(z-x)=z\), folglich \(z\in\overline{\langle x \rangle}\).

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