Verständnis eines schönen Beweises: ℚ liegt dicht in ℝ?

Question

Liebe Freunde der Analysis-Beweise,

Zu zeigen:

\(\mathbb{Q}\) ist dicht in \(\mathbb{R}\): Für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) exisitiert ein \(q\in \mathbb{Q}\) mit \(a<q<b\).

Die Idee des Beweises habe ich so verstanden:

Ist \(n\) groß genug, so liegen die rationalen mit Nenner \(n\) so dicht zusammen, dass mindestens eine davon zwischen \(a\) und \(b\) liegen muss. Die Frage ist nun, wie groß \(n\) sein muss, damit dieses Argument funktioniert. Der Abstand aufeinanderfolgender Zahlen mit Nenner \(n\) ist \(\frac{1}{n}\) - das soll kleiner als die Differenz \(a-b\) sein.

Beweis:

Seien \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<b\). Wähle \(n\in \mathbb{N}\) mit \(\textcolor{#00F}{\frac{1}{n}<b-a\ \,}\). Sei dann \(k\) die kleinste ganze Zahl für die gilt: \(\frac{k}{n}>a\). Ein solches \(k\) exisitiert nach dem Wohlordnungsprinzip, denn die Menge \(M:=\{k\in \mathbb{Z}:\frac{k}{n}>a\}\) ist nach unten beschränkt: \(k\in M \Rightarrow k>na\)

Behauptung: \(a<\frac{k}{n}<b\)

Nach Definition von \(k\) gilt \(a<\frac{k}{n}\), zu zeigen bleibt lediglich, dass \(\frac{k}{n}<b\). Wäre \(\frac{k}{n}\geq b\), so folgte \(\frac{k-1}{n}=\frac{k}{n}-\frac{1}{n}\geq \textcolor{#00F}{\ b-\frac{1}{n}>a\ \,}\). Die Ungleichung \(\frac{k-1}{n}>a\) steht im Widerspruch zur Minimalität von \(k\). Deswegen folgt \(\frac{k}{n}<b\)

Frage zum Beweis:

Ich verstehe bereits die erste Zeile nicht vollständig. Da der zweite Satz mit "Sei dann [...]" beginnt, impliziert das "dann" für mich, dass das eine Folgerung aus dem vorherigen Satz ist. Generell verstehe ich, warum \(k\) exisitert, nicht aber, wie der Autor des Beweises darauf gekommen ist, dieses \(k\) zu wählen. (Es spielt ja später im Beweis eine entscheidende Rolle).

Answer 1

als sei das Beweisfinden ein Glücksspiel bei dem derjenige mit der meisten Ausdauer gewinnt.

Das ist im Prinzip ja auch so ;-)

Mit der Zeit lernt man aber einfach ein paar Beweismethoden, wie z.B. auch diese hier. Es ist oftmals nützlich bei einer Wahl (hier k) das kleinst- oder größtmögliche Element zu wählen das möglich ist. Daraus kann man dann meist per Widerspruch neue Schlüsse ziehen.

Es ist wohl relativ klar, dass man für ein beliebiges n ein k mit $$ a <\frac{k}{n} $$ findet.
Die Frage ist jetzt wie müssen die beiden Zahlen aussehen, dass auch
$$\frac{k}{n}<b$$?
Dazu muss

1. n groß genug sein. Die Differenz der Brüche 1/n braucht eine gewisse Feinheiten, dass wir mit einem Bruch der Form k/n überhaupt zwischen a und b landen zu können. => 1/n < b-a.

2. Das k muss jetzt natürlich so klein sein, dass nicht nur a<k/n sondern auch k/n<b. Im Allgemeinen existieren aber mehrere k. Bsp a=0, b=π, n=1. Da könnten wir k=1,2,3 wählen. Für größere n sogar noch mehr. Des Weiteren ist es für beliebige a und b aber nicht offensichtlich wie viele k existieren, man sollte sich also eines wählen mit dem man gut arbeiten kann. Und das ist hier eben das kleinste k mit a<k/n. Denn aus der Minimalitätseigenschaft folgt dann auch direkt k/n<b.

Comments

Es ist oftmals nützlich bei einer Wahl (hier k) das kleinst- oder größtmögliche Element zu wählen, dass möglich ist.

Das kenne ich in der Beweistheorie als "Extremalprinzip". Fairerweise muss man sagen, dass diese Beweise vermutlich auch nicht in wenigen Stunden entstanden sind, sondern langes sinnieren erfordert haben.

Answer 2

Die Frage ist nun, wie groß n sein muss, damit dieses Argument funktioniert.

Das ist nicht die Frage. Sie könnte nämlich gar nicht beantwortet werden, weil a und b unbekannt sind. Ausschlaggebend ist, dass ein geeignetes n existiert.

Die Frage ist, warum ein solches n eigentlich existiert. Wurde das vorher schon bewiesen?

impliziert das "dann" für mich, dass das eine Folgerung aus derm vorherigen Satz ist.

Das ist so nicht gemeint. Das "dann" kann ersatzlos gestrichen werden ohne an der Logik des Beweises etwas zu verändern.

wie der Autor des Beweises darauf gekommen ist, dieses k zu wählen.

Das musst du den Autor fragen. Das was du da als Beweis siehst, ist nur das Ergebnis des Beweisfindungsprozesses, den der Autor durchlaufen hat. Für das Verständnis des Beweises ist es von Bedeutung, nachzuvollziehen, warum ein solches k existiert.

Übrigens, die eine rot markierte Ungleichung kann mittels Äquivalenzumformungen in die andere umgeformt werden.

Comments

Ich verstehe schon, warum das \(k\) existiert, aber es scheint mir manchmal so als sei das Beweisfinden ein Glücksspiel bei dem derjenige mit der meisten Ausdauer gewinnt.