Bestimmen Sie den Gradienten an der Stelle

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Gradienten von \( f \) an der Stelle \( \left(\frac{1}{3} ; 1\right) \)

$$ f(x ; y)=e^{-3 x+2 y^{2}} \cdot y $$

In welche Richtung wächst die Funktion \( \mathrm{f} \) aus Aufgabe 8 an der Stelle \( \left(\frac{1}{3} ; 1\right) \) am stärksten? Wie groß ist die Änderungsrate? In welcher Richtung ist die Steigung an der Stelle \( \left(\frac{1}{3} ; 1\right) \) null?

Ansatz:

Ich habe den Gradienten, also die ersten Ableitungen bestimmt, aber ich bekomme beim Einsetzen der Stelle ein komisches Ergebnis.

\( f(x ; y)=e^{-3 x+2 y^{2}} \cdot y \)
\( F_{x}(x ; y)=(-3) \cdot e^{-3 x+2 y^{2}} \cdot y^{4} \)
\( f_{y}\left(x_{i} y\right)=(4 y) \cdot e^{-3 x+2 y^{2}} \cdot y+e^{-3 x+2 y^{2}} \)
\( \left(\begin{array}{l}f_{x} \\ s y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}(-3) \cdot e^{-3 x+2} y^{2} \cdot y \\ (4 y) \cdot e^{-3 x+2 y^{2}} \cdot y+e^{-3 x+2 y^{2}} \cdot 1\end{array}\right) \)
\( \nabla f\left(\frac{1}{3} ; 1\right)=\left(\begin{array}{l}-22,167 \\ 13,59\end{array}\right) \)

Answer 1

Erstmal noch ein wenig zusammenpacken die partiellen Ableitungen:

$$ \frac {\partial f}{\partial x} = -3y \cdot e^{-3x+2y^2}$$

$$ \frac {\partial f}{\partial y} = (4y^2+1) \cdot e^{-3x+2y^2}$$

Einsetzen: x=1/3 ; y=1

$$ \frac {\partial f}{\partial x}(\frac 13, 1) = -3 \cdot e^{-3\frac 13+2 \cdot 1^2}$$

$$ \frac {\partial f}{\partial y}  (\frac 13, 1) = (4 \cdot 1^2+1) \cdot e^{-1+2}$$

$$ \frac {\partial f}{\partial x}(\frac 13, 1) = -3 \cdot e$$

$$ \frac {\partial f}{\partial y}  (\frac 13, 1) = 5 \cdot e$$

TR weglassen vereinfacht unsinnig lange und trotzdem ungenaue Dezimalzahlen!

Comments

danke für die Rechnung :) Nur wie mache ich die Fortsetzung der Aufgabe? Da habe ich leider noch gar keine Idee? Lg

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$$ \frac {\partial f}{\partial x}(\frac 13, 1) = -3 \cdot e $$
$$ \frac {\partial f}{\partial y}  (\frac 13, 1) = 5 \cdot e $$
$$ \vec G= \begin{pmatrix} \frac {\partial f}{\partial x}(\frac 13, 1)\\\frac {\partial f}{\partial y}  (\frac 13, 1)  \end{pmatrix} \circ \left(\cos \phi; \sin\phi \right)$$
$$ |\vec G| = \sqrt{(-3e \cdot \cos \phi )^2+(5e \cdot \sin \phi)^2 } $$

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Danke aber in welche Richtung wächst denn dann die Funktion am stärksten? Und die Änderungsrate ist das dann mit dem cosinus und sinus? Bin jetzt etwas durcheinander.

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$$    \phi_{max}=\arctan \left(  \frac {\frac {\partial f}{\partial y}  (\frac 13, 1) }{ \frac {\partial f}{\partial x}  (\frac 13, 1)} \right)  $$

$$    \phi_{max}=\arctan \left( - \frac {                    3} {5} \right)  $$

$$    \phi_{0}=   \phi_{max}\pm \frac\pi2 $$

$$    \phi_{min}=   \phi_{max}\pm \pi $$

Vorsicht bei Gradienten im II. und III. Quadranten ! TRs sind doof und geben bei den Arcusfunktionen nur den Wert für den I. und IV. Quadranten aus. Das bedeutet anstelle der grössten Steigung bekommt man das grösste Gefälle als Ergebnis, wenn man nicht mitdenkt!