Faktorisiere so weit wie möglich (komplex/reell)

Question

Faktorisieren sie folgende Polynome so weit wie möglich.

a) z⁵ -i ∈ Pol ℂ

b) x⁴ +1 ∈ Pol ℝ

c) x⁴ -2x³+x²-4x+4 ∈ Pol ℝ

Bei der c) komm ich bis (x-1)*(x-2)*(x²+x+2), der letzte Schritt ist mir ein Rätsel (benötigt vermutlich das selbe Prinzip wie b), allerdings fehlt mir für a) und b) komplett der Ansatz.

Answer 1

Zur vollständigen Faktorisierung benötigst Du komplexe Zahlen. Der "letzte Schritt" bei c wäre das konjugiert komplexe Nullstellenpaar aus der "unlösbaren" quadratischen Gleichung herauszuholen.

a) und ) b sind auch nur komplex lösbar.

Was bedeutet das "Pol" ???

Weshalb ist bei b) und c) das IR für reelle Zahlen dran? Das macht die Gleichungen zur lösungsmengenreduzierten Zone und vollständige Faktorisierung ist dann nicht möglich.

Comments

Habe die Aufgaben exakt vom Blatt abgeschrieben (da keine Möglichkeit Foto hochzuladen), das Pol steht anscheinend für "Polynom" und das ℝ bereitet mir ja die Probleme, laut Prof gibt es allerdings eine Lösung

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b:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4%2B1%3D0&lk=4

keine reellen Lösungen ! also Leere Menge bei Bezug auf IR

c:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^4+-2x^3%2Bx^2-4x%2B4%3D0

die beiden reellen Nullstellen hast du ja gefunden - das konjugierte komplexe Paar bleibt eben ausserhalb der Lösungsmenge, wenn's nur reelll sein darf. Ein vollständige Faktorisierung ist das dann aber halt nicht.

a:

dazu musst Du Dich erstmal mit dem Wurzelziehen aus komplexen Zahlen befassen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen