Surjektivität und Injektivität Untervektorraum

Question

Brauche Hilfe bei der Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Ferner seien A(V) ={X|XcV} und B(V) ={Y|Y linearer Untervektorraum von V}

Man beweise, dass durch f(x)=linX eine surjektive Abbildung f:A(V) - >B(V) erklärt wird.

Ist diese Abbildung auch injektiv?

Ich weiß, dass Surjektivität  so definiert ist:

f: X- >Y f heißt surjektiv, falls : für alle y e Y existiert ein x e X : f(x) =y

Aber da keine Funktion oder ähnliches angegeben ist, habe ich keine Ahnung :/

Comments

Doch es ist doch lin X angegeben.

Wie ist das denn definiert ?

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Keine Ahnung

Answer 1

Dann vermute ich mal:           lin(x) ist die lineare Hülle von X.
Diese etwas formale Aufgabe sagt doch nur, wenn man jeder Teilmenge eines Vektorraumes V
(Das A(V) sind ja gerade alle Teilmengen von V) ihre lineare Hülle (Das ist der "kleinste" Vektorraum,
der alle Vektoren dieser Teilmenge enthält.) zuordnet, dann ist dies eine surjektive Zuordnung.
Das ist aber klar, denn alle Untervektorräume von V enthalten ja selbst einige Vektoren von V,
sind also zugleich auch eine Teilmenge von V.
Wenn man nun dieser Teilmenge von V ihre lineare Hülle zuordnet, ist das natürlich wieder der
gleiche Untervektorraum.
Etwas formaler könnte man so argumentieren. 
 (Ich bezeichne mit |U| die Menge aller Vektoren eines Untervektorraumes U)

Sei U aus B(V), also U ein Unterraum von V.

Dann ist |U| eine Teilmenge von V, also |U| aus A(V).

Dann ist die lineare Hülle von |U| gleich U, also f(U) = U.

Es gibt also ein Element x (nämlich |U|) in A(U) mit f(x)=U

also U surjektiv.

Die Abb. ist im allg. nicht injektiv, wie folgendes Gegenbeispiel lehrt:

Es sei V = IR^2 und   v1=(0;1) und v2=(1;0) und v3=(1;1).

Dann ist die lineare Hülle von M1= {v1;v2} ganz IR^2 und die von M2={v1;v2;v3} auch.

Es wird also verschiedenen Mengen M1 und M2 das gleiche Bild f(M1)=f(M2)=IR^2 zugeordnet,

also ist f nicht injektiv.