Ist das Spiel fair? Stochastik. 30 günstige, 216 mögliche Ausfälle. Auszahlung 6 : 1.

Question

Ein roter, schwarzer , weißer würfel wird in der reihenfolge geworfen Rot= primzahl schwarz=keine eins und weiß=quadratzahl

die günstigen ergebnisse sind 30

Mögliche ergebnisse 216

p gewinn= 30/216

ist das spiel bei einem Auszahlungs-einsatzverhältniss von 6 : 1 fair (was ist hiermit genau gemeint)

 ich hätte jetzt 6*30/216 = B

(1   -  30/216)= C

 wenn B=C fair wenn c größer ist undfair

 
im buch steht nun aber salopp

P gewinn = 30/216 somit ist das spiel unfair da dies kleiner als 1/6 ist (wieso =? wie gehen die hier vor?)

Answer 1

Bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 30/216 muss das Ein zu Auszahlungsverhältnis 30:216 sein um Fair zu sein.

Hier mal die Rechnung dazu:

Einzahlung - Gewinnwahrscheinlichkeit * Auszahlung = 0
 - Gewinnwahrscheinlichkeit * Auszahlung = - Einzahlung
Gewinnwahrscheinlichkeit * Auszahlung = Einzahlung
Gewinnwahrscheinlichkeit = Einzahlung/Auszahlung

D.h. das Auszahlung zu Einzahlungsverhältnis muss um fair zu sein 216:30 betragen. Das ist aber nicht das gleiche wie 6:1 und daher ist das Spiel nicht fair.

Answer 2

Bei einem fairen Spiel ist der erwartete Gewinn genau 0.

Den 'erwartete Gewinn' ist dabei der sog. Erwartungswert des Gewinns.

Du berechnest den, wie du ein arithmetisches Mittel berechnen würdest, gewichtest das aber mit Wahrscheinlichkeiten.

Einsatz : E Euro.          

Mögliche Auszahlung

6*E Euro mit einer Wahrsch. 30/216                    Produkt: 6*30 / 216 E = 5/6 E

0*E Euro mit einer Wahrsch. 1 - 30/216              Produkt: 0 E.

Erwarteter Gewinn:

Auszahlung - Einsatz = 5/6 E - E = -1/6*Einsatz.

Deshalb unfair, wenn der Einsatz (und daher auch die Auszahlung) nicht 0 Euro betrug.