Wie leite ich die formel a/sin alpha =b/sin betha=c/sin gamma= 2r her?

Question

Ich habe ein beliebiges dreieck mit einem umkreis und dazu eine Gleichung: a/sinα = b/sinβ= c/sinγ = 2r , dabei ist r der radius des Kreises, wie leite ich die formel her?

Answer 1

Zeichne dir mal irgendein Dreieck und dazu den Umkreis,
sagen wir mal mit Mittelpunkt M und Radius r.

Mache eine Punktspiegelung von A an M, dann bekommst
du einen Punkt D, der natürlich auch
auf dem Kreis liegt.Zeichne DC ein.

AD ist jetzt ein Durchmesser des Kreises und C liegt auf dem
Kreis, also ist DCA ein rechtwinkliges Dreieck (Thales!)
mit rechtem Winkel bei C.

Dann ist sin(delta) = AC / AD   (delta ist der Innenwinkel bei D)
und es ist ja AD = 2r
also   sin(delta) = AC / 2r

Der Innenwinkel bei B (also beta) und delta sind die Winkel, unter
denen die Strecke AC von B bzw. von D aus erscheint.
Solche Winkel sind gleich groß (Umfangswinkelsatz).
also kann in der letzten Gleichung statt delta auch beta
geschrieben werden und es ist
     sin(beta) = AC / 2r   bzw.   2r = AC / sin(beta) oder auch 2r = b/sin(beta).

Wenn man am Anfang statt A am Mittelpunkt zu spiegeln eine andere Ecke nimmt, kommt man auf die übrigen Gleichungen.