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Analytische Geometrie:

Bestimme Inkreis und Umreis vom Dreieck ABC mit A(0,0), B(12, 12), C(-12, 6)
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Da existieren jetzt schon ein Haufen Aufgaben zu dem Thema. Such dir mal eine aus und probiere wie dort vorzugehen.

Eine Beisipielaufgabe findest du hier: https://docs.google.com/document/d/1mCAAuEIzkVvqtqIyo97jD-7gT0F6erTGV-1MOEU5T44/pub

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Eulersche Gerade im Dreieck

Mathe Analytische Geometrie

 

Eulersche Gerade im Dreieck

 

Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten

 

A = [-5, 1], B = [5, -4], C = [5, 5]

 

Berechne die Koordinaten der Halbierungspunkte der Strecken AB, BC, CA.

 

Gib die Gleichung des Kreises durch diese Punkte an und zeige, dass der Mittelpunkt auf der Eulerschen Gerade liegt.

 

Berechnung der Mittelpunkte auf den Seiten

 

D = MAB = 1/2·(A + B) = 1/2·([-5, 1] + [5, -4]) = [0, -1.5]
E = MBC = 1/2·(B + C) = 1/2·([5, -4] + [5, 5]) = [5, 0.5]

F = MAC = 1/2·(A + C) = 1/2·([-5, 1] + [5, 5]) = [0, 3]

 

Berechnung des Umkreises des Dreiecks DEF (Feuerbachkreis)

 

Mittelsenkrechte von DE

 

DE = E - D = [5, 0.5] - [0, -1.5] = [5, 2]

1/2·(D + E) + r * [2, -5] = 1/2·([0, -1.5] + [5, 0.5]) + r * [2, -5] = [2·r + 2.5, - 5·r - 0.5]

 

Mittelsenkrechte von DF

 

DF = F - D = [0, 3] - [0, -1.5] = [0, 4.5]

1/2·(D + F) + s * [4.5, 0] = 1/2·([0, -1.5] + [0, 3]) + s * [4.5, 0] = [4.5·s, 0.75]

 

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von DE und DF

 

[2·r + 2.5, - 5·r - 0.5] = [4.5·s, 0.75]

r = -0.25 ∧ s = 4/9
M = [4.5·(4/9), 0.75] = [2, 0.75]

 

r = |M - D| = |[2, 0.75] - [0, -1.5]| = √(145/16)

 

Feuerbachkreis: (x - 2)^2 + (y - 0.75)^2 = 145/16

 

Der Mittelpunkt soll jetzt auf der Eulergeraden liegen. Auf dieser liegen auch Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

 

Berechnung des Schwerpunktes

 

1/3 * (A + B + C) = 1/3 * ([-5, 1] + [5, -4] + [5, 5]) = [5/3, 2/3]

 

Berechnung des Umkreismittelpunkts vom Dreieck ABC

 

Mittelsenkrechte von AB


AB = B - A = [5, -4] - [-5, 1] = [10, -5]

1/2·(A + B) + r * [5, 10] = 1/2·([-5, 1] + [5, -4]) + r * [5, 10] = [5·r, 10·r - 1.5]

 

Mittelsenkrechte von AC

 

AC = C - A = [5, 5] - [-5, 1] = [10, 4]

1/2·(A + C) + r * [4, -10] = 1/2·([-5, 1] + [5, 5]) + s * [4, -10] = [4·s, 3 - 10·s]


Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AB und AC

 

[5·r, 10·r - 1.5] = [4·s, 3 - 10·s]

r = 1/5 ∧ s = 1/4
[5·(1/5), 10·(1/5) - 1.5] =
[1, 0.5]

 

Berechnung des Höhenschnittpunktes

 

Höhe über AB


AB = B - A = [5, -4] - [-5, 1] = [10, -5]

C + r * [5, 10] = [5, 5] + r * [5, 10] = [5·r + 5, 10·r + 5]

 

Höhe über AC

 

AC = C - A = [5, 5] - [-5, 1] = [10, 4]
B + s * [4, -10] = [5, -4] + s * [4, -10] = [4·s + 5, - 10·s - 4]

 

Schnittpunkt der Höhen über AB und AC

 

[5·r + 5, 10·r + 5] = [4·s + 5, - 10·s - 4]

r = -2/5 ∧ s = -1/2

[5·(-2/5) + 5, 10·(-2/5) + 5] = [3, 1]

 

Zu zeigen ist das alle Punkte [2, 0.75], [5/3, 2/3], [1, 0.5] und [3, 1] auf einer Geraden liegen

 

[2, 0.75] - [5/3, 2/3] = [1/3, 1/12] = 1/12 * [4, 1]

[2, 0.75] - [1, 0.5] = [1, 1/4] = 1/4 * [4, 1]
[2, 0.75] - [3, 1] = [-1, -1/4] = -1/4 * [4, 1]

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Da sind denke ich alle wichtigen Berechnungen drin.

Den Umkreis mit einem Gleichungssystem habe ich hier berechnet: https://www.mathelounge.de/43150/ich-habe-gerade-versucht-dieses-dreieck-c-9-zu-konstruieren

Wenn du nicht klar kommst dann sag mal wo du Probleme hast.

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ich würde nur gern sehen wie die Skizze aussieht . LG

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