Grenzwert von Funktion mit zwei Variablen? f(x,y):=(xy^2)/(x^2 + y^4), (x; y) ≠ (0,0) und f(0;0):=0.

Question

Ich habe folgende Aufgabe, leider weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll. Ich bitte um ausführliche Hilfe ich hänge jetzt schon länger an der Aufgabe. Nun hier ist die Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion
$$ f(x ; y)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{x \cdot y^{2}}{x^{2}+y^{4}},} & {(x ; y) \neq(0 ; 0)} \\ {0,} & {(x ; y)=(0 ; 0)} \end{array}\right. $$
Untersuchen Sie dazu die Grenzwertbildung
a) längs der positiven \( x \) -Achse, d. h. \( \lim \limits_{\vec{x} \rightarrow \vec{0}} f(x ; 0) \)
b) längs der Geraden \( y=x \) für \( x>0 \)
c) längs der Kurve \( y=\sqrt{x} \) für \( x>0 \)

Ich freue mich auf die Antworten und danke im voraus.

Liebe Grüße

Answer 1

schreib dir doch die Funktion entlang der Kurven auf, dann hast du eine Funktion die nur von einer Variablen abhängt.

Beispiel:

b) f(x,x) = x/(1+x^2) für x > 0

Gruß

Comments

Danke aber mit zwei Variablen kann ich es nicht. Mit einer Variablen muss man doch nur Zähler und Nenner ableiten und schauen was rauskommt. Aber hier ist es anders den Satz von L'Hospital kann ich hier nicht anwenden.

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Deswegen auch mein Vorschlag erstmal die Funktionen entlang einer Kurve in Abhängigkeit von einer Variablen zu schreiben.

zurück zum Beispiel b) und x > 0

$$ \lim \limits_{\vec{x} \to \vec{0}} f(x,x) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x\cdot x^2}{x^2+x^4} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{1+x^2}  = \frac{0}{1} = 0$$

also gar kein L'Hospital notwendig

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Vielen Dank :) Ausklammern reicht hier zum Glück. Ich habe dann bei den beiden anderen Grenzwerten nach dem Kürzen "Null" raus.

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Das kann bei c) aber nicht sein, da hier 1/2 rauskommen müsste.