Hatte bei der a) übersehen, dass ich ja mit y gegen 1 strebe und nicht gegen 0. Ich schreib dir die Lösung allerdings grad wieder hier hin, da ich da noch etwas gesagt hatte, worauf sich der Teil b aufbaut. Aber die Lösung zur a) stimmt nicht. Vielleicht krieg ich sie hin, ich probier's mal und schreibe es später als Kommentar.
Also, hier die falsche Lösung zur a):
a) Du musst dir halt einfach vorstellen, dass du "unendlich nah" an die Null ran gehst und dann überlegst du dir gegen was Zähler und Nenner streben. Wenn du mit x und y gegen Null strebst, strebt der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen -1. Somit lautet ja dein Bruch 0/1. Und das ist 0.
Also:
$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ x\cdot \sin { \left( \frac { 1 }{ y } \right) } =0 } $$
Ich sag's mal so: In diesem Fall kannst du die 0 tatsächlich einfach für x und y einsetzen. Das tut man aber eigentlich nicht, da man ja nur dagegen strebt. Du kannst es dir aber so vorstellen. Das funktioniert allerdings nicht immer, wie du bei b) sehen wirst.
b) Hier kannst du dir wieder vorstellen, dass du für x einfach 0 einsetzt. Für y kannst du diesmal allerdings nicht einfach die 0 einsetzen.
Ich werde im Folgenden statt y einfach x schreiben, da ich es dir somit besser erklären kann. Am Ende sage ich bescheid, wenn ich wieder y schreibe.Also: Für y (bzw. ab jetzt x) kannst du diesmal allerdings nicht einfach die 0 einsetzen, da 1/x für x=0 nicht definiert ist. Wenn du dir den Graphen der Funktion 1/x anschaust, sieht er wie folgt aus:
Du siehst, dass kein Wert für x=0 existiert.
Nun musst du dir überlegen, gegen was 1/x strebt, wenn du x gegen 0 streben lässt. Wenn x gegen 0 geht, wird der Nenner immer kleiner, weswegen der gesamte Bruch größer wird.
$$ \frac { 1 }{ 2 } =0,5 $$
$$ \frac { 1 }{ 1 } =1 $$
$$ \frac { 1 }{ 0,5 } =2 $$
$$ \frac { 1 }{ 0,125 } =8 $$
Und so weiter...
Wenn du mit x gegen 0 strebst, strebt die Funktion 1/x also gegen unendlich.
Wir hatten gerade den Fall untersucht, wenn x größer als 0 ist. Nun müssen wir noch den Fall untersuchen, wenn x kleiner als 0 ist, da sich ja dadurch das Vorzeichen ändert. Wir streben allerdings immer noch gegen 0.
$$ \frac { 1 }{ -2 } =-0,5 $$
$$ \frac { 1 }{ -1 } =-1 $$
$$ \frac { 1 }{ -0,5 } =-2 $$
$$ \frac { 1 }{ -0,125 } =-8 $$
Und so weiter...
Hier siehst du, dass du gegen minus unendlich strebst.
Nun schreibe ich wieder x und y ganz normal wie es in der Aufgabenstellung steht.So, wir wissen also nun, dass wir einmal gegen unendlich und einmal gegen minus unendlich streben. D.h. also, dass wir uns nun einfach mal die Sinusfunktion anschauen.
Wir sehen, dass wir keinen Grenzwert erhalten, wenn wir gegen unendlich bzw. minus unendlich streben. Der Grenzwert
$$ \lim _{ y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { 1 }{ y } \right) } $$
exisitert also gar nicht.
Wir erkennen, dass die Sinusfunktion beschränkt ist. Die Funktionswerte liegen nämlich immer zwischen -1 und 1.
Wenn wir uns die gesamte Funktion wieder betrachten, sehen wir also, dass wir einmal gegen 0 streben und einmal besitzt die Funktion keinen Grenzwert, sondern ist beschränkt. Deine Funktion bestand ja aus der Funktion x und aus der Funktion sin(1/y). Nun ist es so, dass, wenn eine Funktion gegen 0 strebt und eine andere beschränkt ist, die gesamte Funktion ebenfalls gegen 0 strebt. Das macht auch Sinn, da x immer kleiner wird und sin(1/y) liegt einfach immer zwischen -1 und 1.
Also:
$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ x\cdot \sin { \left( \frac { 1 }{ y } \right) } =0 } $$