Untersuchung von Grenzwerten (2 Variablen) lim (2x)/(x+y-1) wobei (x,y) -> (0,1)

Question

ich bräuchte eure Hilfe bei der Bestimmung folgender Grenzwerte:

a)

\( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{2 x}{x+y-1} \)

b)

\( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \sin \frac{1}{y} \)

Ich habe wirklich keine Ahnung wie Grenzwerte bestimmt werden, ich hoffe ihr könnt die Bestimmung erklären.

Gruß

Paula

Answer 1

Hatte bei der a) übersehen, dass ich ja mit y gegen 1 strebe und nicht gegen 0. Ich schreib dir die Lösung allerdings grad wieder hier hin, da ich da noch etwas gesagt hatte, worauf sich der Teil b aufbaut. Aber die Lösung zur a) stimmt nicht. Vielleicht krieg ich sie hin, ich probier's mal und schreibe es später als Kommentar.

Also, hier die falsche Lösung zur a):

a) Du musst dir halt einfach vorstellen, dass du "unendlich nah" an die Null ran gehst und dann überlegst du dir gegen was Zähler und Nenner streben. Wenn du mit x und y gegen Null strebst, strebt der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen -1. Somit lautet ja dein Bruch 0/1. Und das ist 0.
Also:
$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ x\cdot \sin { \left( \frac { 1 }{ y }  \right)  } =0 } $$
Ich sag's mal so: In diesem Fall kannst du die 0 tatsächlich einfach für x und y einsetzen. Das tut man aber eigentlich nicht, da man ja nur dagegen strebt. Du kannst es dir aber so vorstellen. Das funktioniert allerdings nicht immer, wie du bei b) sehen wirst.

b) Hier kannst du dir wieder vorstellen, dass du für x einfach 0 einsetzt. Für y kannst du diesmal allerdings nicht einfach die 0 einsetzen.
Ich werde im Folgenden statt y einfach x schreiben, da ich es dir somit besser erklären kann. Am Ende sage ich bescheid, wenn ich wieder y schreibe.
Also: Für y (bzw. ab jetzt x) kannst du diesmal allerdings nicht einfach die 0 einsetzen, da 1/x für x=0 nicht definiert ist. Wenn du dir den Graphen der Funktion 1/x anschaust, sieht er wie folgt aus:



Du siehst, dass kein Wert für x=0 existiert.
Nun musst du dir überlegen, gegen was 1/x strebt, wenn du x gegen 0 streben lässt. Wenn x gegen 0 geht, wird der Nenner immer kleiner, weswegen der gesamte Bruch größer wird.
$$ \frac { 1 }{ 2 } =0,5 $$
$$ \frac { 1 }{ 1 } =1 $$
$$ \frac { 1 }{ 0,5 } =2 $$
$$ \frac { 1 }{ 0,125 } =8 $$
Und so weiter...
Wenn du mit x gegen 0 strebst, strebt die Funktion 1/x also gegen unendlich.

Wir hatten gerade den Fall untersucht, wenn x größer als 0 ist. Nun müssen wir noch den Fall untersuchen, wenn x kleiner als 0 ist, da sich ja dadurch das Vorzeichen ändert. Wir streben allerdings immer noch gegen 0.
$$ \frac { 1 }{ -2 } =-0,5 $$
$$ \frac { 1 }{ -1 } =-1 $$
$$ \frac { 1 }{ -0,5 } =-2 $$
$$ \frac { 1 }{ -0,125 } =-8 $$
Und so weiter...
Hier siehst du, dass du gegen minus unendlich strebst.

Nun schreibe ich wieder x und y ganz normal wie es in der Aufgabenstellung steht.
So, wir wissen also nun, dass wir einmal gegen unendlich und einmal gegen minus unendlich streben. D.h. also, dass wir uns nun einfach mal die Sinusfunktion anschauen.


Wir sehen, dass wir keinen Grenzwert erhalten, wenn wir gegen unendlich bzw. minus unendlich streben. Der Grenzwert
$$ \lim _{ y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { 1 }{ y }  \right)  } $$
exisitert also gar nicht.
Wir erkennen, dass die Sinusfunktion beschränkt ist. Die Funktionswerte liegen nämlich immer zwischen -1 und 1.

Wenn wir uns die gesamte Funktion wieder betrachten, sehen wir also, dass wir einmal gegen 0 streben und einmal besitzt die Funktion keinen Grenzwert, sondern ist beschränkt. Deine Funktion bestand ja aus der Funktion x und aus der Funktion sin(1/y). Nun ist es so, dass, wenn eine Funktion gegen 0 strebt und eine andere beschränkt ist, die gesamte Funktion ebenfalls gegen 0 strebt. Das macht auch Sinn,  da x immer kleiner wird und sin(1/y) liegt einfach immer zwischen -1 und 1.
Also:
$$ \lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ x\cdot \sin { \left( \frac { 1 }{ y }  \right)  } =0 } $$

Comments

Hm...komm nicht drauf wie man die a) macht. Hatte es noch nie mit zwei Variablen gemacht. Allerdings war's ja bei der b) im Prinzip so, als hätte man nur x als Variable und statt 1/y hätte dort 1/x gestanden.
Wenigstens bei einer Aufgabe konnte ich dir helfen :)

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Vielen vielen dank für deine super Erklärung, jetzt habe ich das Grenzwerte hoffentlich auch einmal verstanden:D

Nur noch einmal zusammenfassend, nicht das ich doch irgendetwas falsch verstanden habe:

a) Grenzwert existiert nicht

b) Funktion strebt gegen 0

Ich hoffe, das ich es so richtig verstanden habe:)

Lieben Gruß

Paula

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Bitte :)
Der Grenzwert existiert bei a) schätze ich schon, nur dabei kann ich dir leider auch nicht helfen, da ich es noch nie mit zwei Variablen gemacht hatte :(
Die b) hatte ich halt noch hinbekommen, da ich dort einfach mir einfach 1/x statt 1/y denken konnte. Und ja, die Funktion bei b) strebt gegen 0.

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Ich habe im beim recherchieren die selbe Aufgabe wie bei a) gefunden, inklusive Erklärung, nur verstehe ich diese nicht ganz (warum (xn,yn)=(0,1+1/n)) Wäre super wenn du es vvlt erklären könntest).

für deine Antwort:)

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Also wegen dem ersten Abschnitt schaust du dir einfach mal auf dieser Seite ( http://www.onlinetutorium.com/index.php?cPath=51_56 ) die Videos 5.2 und 5.2.1 an. Dort wird erklärt, weswegen wir nun wie folgt vorgehen.

Zweiter Abschnitt:
Du weißt ja nun, dass du dir eine Folge raussuchen musst für x_n, die gegen Null strebt. Für y_n eine, die gegen 1 strebt.

1. Möglichkeit: Wähle x_n=0 und y_n=1+1/n.

Es gilt:
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 0 } =0 $$
und
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 1+\frac { 1 }{ n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 1 } +\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ n }  } =1+0=1 $$

Somit kannst du x_n=0 und y_n=1+1/n wählen und es folgt:
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2\cdot { x }_{ n } }{ { x }_{ n }+y_{ n }-1 } ==\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2\cdot 0 }{ 0+(1+\frac { 1 }{ n } )-1 }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 0 }{ \frac { 1 }{ n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 0=0 }  }  }  $$
2. Möglichkeit: Wähle x_n=1/n und y_n=1+1/n.

Es gilt:

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 1/n } =0 $$
und
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 1+\frac { 1 }{ n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 1 } +\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ n }  } =1+0=1 $$
Somit kannst du x_n=1/n und y_n=1+1/n und es folgt:
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2\cdot { x }_{ n } }{ { x }_{ n }+y_{ n }-1 } ==\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2\cdot \frac { 1 }{ n }  }{ \frac { 1 }{ n } +(1+\frac { 1 }{ n } )-1 }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 2 }{ n }  }{ \frac { 2 }{ n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2 }{ n } \cdot \frac { n }{ 2 } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ 1 } =1 }  }  }  $$

Somit hast du also zwei verschiedene Grenzwerte für deine Funktion raus, obwohl die ausgewählten Folgen immer gegen 0 bzw. 1 konvergieren. Also existiert der Grenzwert nicht.

Verstanden?:)

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Ja, super:)

Vielen dank,für deine Erklärungen und vor allem deine Geduld mit mir:D

Gruß und noch einen schönen Abend:)

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Kein Ding :D

Danke, dir auch noch einen schönen Abend :)