Untersuchung von Grenzwerten

Question

Aufgabe:   Untersuchen Sie die Grenzwerte

$$\lim\limits_{x\to\ 1} \frac{x^n-1}{n(x-1)}$$

Weiß Jemand was ich für n einsetzen muss?

Ich verstehe nicht wie ich das Grenzverhalten bestimmen soll.

Answer 1

\(\lim\limits_{x\to\ 1} \frac{x^n-1}{n(x-1)}\)

Ohne Krankenhausregel:

 \(\frac{x^n-1}{(x-1)}=1+x+x^2+\cdots x^{n-1}\)

Für x gegen 1 gehen alle diese Summanden (n an der Zahl) gegen 1.

Die Summe dieser n Summanden geht damit gegen n, und das Ganze geteilt durch n wegen des zusätzlichen Faktors n im Nenner....

Answer 2

Mit der Regel von l’Hospital:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{n \cdot(x-1)} \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n-1}}{n} \rightarrow 1 \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Text erkannt:

\begin{tabular}{l}
\( f(x)=\frac{x^{1000}-1}{1000(x-1)} \) & \( = \) \\
\hline Eingabe... \\
\hline
\end{tabular}

Comments

Dir ist da ein Faktor n abhanden gekommen...

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In der Zeichnung habe ich für n die Zahl 1000 gewählt.

mfG

Moliets

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Dir fehlt in deinem l'Hospital-Text der Faktor n des Ableitens im Zähler!

(Oder du hast schon gekürzt, dann muss das n im Nenner weg.)

Die Aussagekraft deines Funktionsgraphen ist übrigens recht limitiert.

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In Ordnung , ich habe im Zähler falsch differenziert.

"Die Aussagekraft deines Funktionsgraphen ist übrigens recht limitiert."

Wie soll ich das verstehen?

mfG

Moliets

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Wie soll ich das verstehen?

Ob ein Funktionswert in der Nähe von 1 nun 0,5 oder 1 oder 5 oder 10 000 ist, lässt sich beim besten Willen nicht ablesen.

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Danke für eure Kommentare, hat mir sehr weitergeholfen. Wenn man die Regel von  l'Hospital verwendet muss man also den Oberen und Unteren Term für sich jeweils ableiten, dann steht  im Zähler n*x^(n-1)

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Danke für die schnelle Hilfe!

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"Ob ein Funktionswert in der Nähe von 1 nun 0,5 oder 1 oder 5 oder 10 000 ist, lässt sich beim besten Willen nicht ablesen."

Auf alle Fälle ist der gesuchte Grenzwert bei x=1 deutlich sichtbar.

mfG

Moliets