subjektive Abbildung zeigen

Question

Aufgabe:

Die Abbildung f ist surjektiv genau dann, wenn es eine Abbildung g : B → A gibt mit f ◦ g = idB

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Aussage zeigen?

Answer 1

Aloha :)

Behauptung: \(\quad f:A\to B\text{ ist surjektiv}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\, g:B\to A\text{ mit } f\circ g=\operatorname{id}_B\)

1) Hinrichtung \(\Longrightarrow\)

\(f:A\to B\) ist surjektiv, also wird jedes Element aus \(B\) mindestens 1-mal erreicht. Für alle \(b\in B\) existiert daher ein \(a\in A\) , sodass \(f(a)=b\) ist. Daraus konstruieren wir eine Funktion \(g:B\to A\) und definieren \(g(b)\coloneqq a\). Damit gilt:$$(f\circ g)(b)=f(g(b))=f(a)=b=\operatorname{id}_B(b)$$Da \(b\in B\) beliebig gewählt werden kann, ist \(f\circ g=\operatorname{id}_B\).

2) Rückrichtung \(\Longleftarrow\)

Es existiert eine Abbildung \(g:B\to A\) mit \(f\circ g=\operatorname{id}_B\). Für ein beliebiges \(b\in B\) setzen wir \(a\coloneqq g(b)\in A\) und stellen fest, dass:$$f(a)=(f(g(b))=(f\circ g)(b)=\operatorname{id}_B(b)=b$$Da \(b\in B\) beliebig ist, gibt es für alle \(b\in B\) ein \(a\in A\) mit \(f(a)=b\). Jedes Element der Zielmenge \(B\) wird also mindestens 1-mal erreicht. Die Funktion \(f\) ist surjektiv.