Umkehrfunktion und Bild berechnen: f(x) = 1 / (1+2x)

Question

Hallo :-)

Ich habe eine Frage bezüglich der folgenden Aufgabe:

Sei f: (-1/2, unendlich) -> R definiert durch f(x) = 1 / (1+2x)

a) Bestimmen Sie das Bild f((-1/2, unendlich)) von f.

   Ich weiß, dass ich hier einmal lim mit x -> -1/2 und einmal lim x -> unendlich laufen lassen muss, aber
   ich bekomme dort irgendwie kein Ergebnis heraus! 
   Kann ich den Bruch 1 / (1+2x)  denn noch vereinfachen?

b) Berechnen Sie die Funktionsvorschrift von f^-1 und berechnen Sie f^-1(f(x)).

Die Funktionsvorschrift berechne ich ja, indem ich y= 1 / (1+2x) nach x auflöse, aber ich komme bei dem Punkt y+2xy = 1 nicht weiter, wie löse ich das nach x weiter auf?

Und f^-1(f(x)) ist ja dann f^-1 (1 / (1+2x)) und dies muss ich solange umformen bis zum Schluss, nur noch x heraus kommt. Kann mir jemand eventuell helfen? Danke :-)

Answer 1

Umkehrfunktion: 

y  = 1 / (1+2x)

y(1+2x) = 1

1+2x = 1/y

2x = - 1 + 1/y

x = -1/2 + 1/(2y)

f^{-1} (x) = -1/2 + 1/(2x)

Beachte: Wenn eine Variable nach der du umstellen sollst nur einmal in der Gleichung ist, solltest du es vermeiden sie zu vermehren.

a) Nun Bild:

lim_x->∞  1 / (1+2x) = 0

x = -1/2 ist ja eine vertikale Asymptote. Da f(x) > 0, wenn x > -1/2 ==> Die Kurve nähert sich auf der Asymptote auf der oberen Seite der x-Achse an.

Bild ist (0, unendlich)