Bild und Umkehrfunktion von Funktion mit mehreren e^x

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 e^{x}+e^{2 x}-1$$ streng monoton wachsend ist, bestimmen Sie das Bild von f sowie die Umkehrfunktion und deren Ableitung.

Problem/Ansatz:

streng monoton wachsend und die Ableitung bekomme ich hin. Allerdings verstehe ich nicht genau was das Bild ist und wie man es bekommt. Wie man auf die Umkehrfunktion kommt weiß ich eigentlich, allerdings bekomme ich das hier irgendwie nicht hin. Hat jemand vielleicht Tipps oder eine Lösung?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Funktionsgleichung etwas umformst

$$f(x)=2e^x+e^{2x}-1=\left(2e^x+e^{2x}+1\right)-2=\left((e^x)^2+2\cdot e^x+1\right)-2=(e^x+1)^2-2$$

kannst du die Umkehrfunktion sofort bilden:

$$\left.y=(e^x+1)^2-2\quad\right|+2$$$$\left.y+2=(e^x+1)^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt{y+2}=e^x+1\quad\right|-1$$$$\left.\sqrt{y+2}-1=e^x\quad\right|\ln(\cdots)$$$$x=\ln\left(\sqrt{y+2}-1\right)$$

Also lautet die Umkehrfuntkon:

$$f^{-1}(x)=\ln\left(\sqrt{x+2}-1\right)\quad;\quad x>-1$$

Comments

Oh stimmt, vielen Dank. Hatte es auch mit binomischer Formel probiert aber durch das -1 nicht hinbekommen. Bin nicht drauf gekommen das man das ja einfach mit +1 -2 ersetzen kann.

Hast du vielleicht auch eine Idee wie ich das Bild bekomme? Hab leider keine Ahnung wie das funktioniert.

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Was meinst du genau mit Bild?

Das Bild von \(f\) ist \((-1|\infty)\). Das Bild von \(f^{-1}\) ist \(\mathbb R\).

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Ich weiß auch nicht genau was mit Bild gemeint ist. Die Aufgabe ist genau so wie oben gestellt. Vermutlich ist das Bild von f also (-1|unendlich) gemeint. Wie bist du darauf gekommmen? Einfach nur weil x >-1 sein muss durch die Umkehrfunktion?

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Die \(e\)-Funktion ist immer \(>0\). Daher ist \(f(x)>-1\). Die \(e\)-Funktion geht aber gegen \(\infty\). Daher geht auch \(f(x)\) gegen \(\infty\).

In die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) können wir daher nur \(x\)-Werte eintragen, die \(>-1\) sind. Das Bild der Umkehrfuktion \(f^{-1}\) liefert alle möglichen Argumente der Funktion \(f\) und in diese darf man für \(x\) alle Zahlen einsetzen.