Beweisen Sie mit Hilfe des Prinzips der Vollständigen Induktion: x und n (∑xi ≥n)

Question

Beweisen Sie mit Hilfe des Prinzips der Vollständigen Induktion:

Für \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \), mit \( x_{i}>0 \forall i \in\{1, \ldots, n\} \) und \( \prod \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1 \) gilt

(a) \( \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \geq n \)

(b) und die Gleichheit in (a) tritt nur für den Fall \( x_{1}=\ldots=x_{n}=1 \) ein.

Mein Ansatz bei a):

\( I V: n=2, x=2 \)
\( 2+2 \geq 2 \)
\( I S: \quad \sum \limits_{i=1}^{n+1} x_{i} \geq n+1 \)
\( \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}+x_{n+1} \geq n+x_{n+1} \)

Also ganz simpel, mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie man aus dem x_n+1 eine 1 machen will. Ich glaube es hat etwas mit dem Produktzeichen zu tun.

Comments

n=2

x1 * x2 = 1

x2 = 1/x1

x1 + x2 = x1 + 1/x1 = (x1^2 + 1)/x1

Behauptung

(x1^2 + 1)/x1 ≥  2 

Ich lasse mal den Index 1 weg.

Behauptung

x^2 + 1 ≥ 2x

x^2 - 2x + 1 ≥ 0

(x-1)^2 ≥ 0             ist immer der Fall, da Quadratzahlen nicht kleiner als 0 sein können.

So ähnlich bringt man vermutlich dann auch den Induktionsschritt hin.

Answer 1

Die Aufgabe folgt sofort aus der Tatsache, dass das arithmetische Mittel größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist, dass also gilt
$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k \ge \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n x_k} $$
Falls jetzt gilt
$$ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n x_k}=1  $$ folgt
$$ \sum_{k=1}^n x_k \ge n $$
Ein Beweis findet man hier
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means

Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass man Lagrangsche Multiplikatoren verwendet.
Man definiert die Lagrangefunktion
$$ L(x)=\sum_{k=1}^n x_k-\lambda (x_1\cdot x_2 \cdots x_n-1) $$
Es gilt
$$ \frac{\partial L(x)}{\partial x_k}=1-\lambda \cdot x_1 \cdot x_2 \cdots x_{k-1}\cdot x_{k+1}\cdots x_n=0   $$
für \( k=1, ..., n\). Daraus folgt für \( k=1 \)
$$  \lambda=\frac{1}{x_2 \cdot x_{3} \cdots x_n}   $$
Das jetzt in die Lagrangschen Gleichungen eingesetzt ergibt für \( k=2, ... , n  \)
$$ 1-\frac{x_1}{x_k}=0  $$
Also \( x_k=x_1 \) für \( k=2,...,n \)
Aus der Nebenbedingung \( \prod_{k=1}^n x_k=1 \) folgt damit \( x_1^n=1 \) aslo \( x_1=1 \)
Das heisst, das Minimum wird bei \( x_1=x_2=...=x_n=1 \) angenommen. Das es wirklich ein Minimum ist,muss über die Hessematrix noch gezeigt werden.
Damit gilt insgesamt
$$ \sum_{k=1}^n x_k \ge n $$
und das Minimum wird nur bei \( x_1=,...,x_n=1 \) angenommen.

Comments

Danke für die Antworten ihr beide,

Also Ich bin jetzt schon ein bisschen geschockt, das ist Aufgabe 1 in einen Übungsblatt für erstsemester Studenten, und da hatte ich gedacht, dass kann ja nicht so schwer sein. Was ein Irrtum.

Also zur aufgabe:

@ullim, Also der erste Teil ist recht verständlich, wenn ich auch nicht weis, wo du das 1/n herbekommst, das andere ist aber etwas zu kompliziert und das hatten wir noch nicht, also darf ich es nicht benutzen.

Wie von Lu vorgeschlagen ist der Induktionsanfang jetzt klar, folgt der Induktionsschritt:

Wenn ihr euch das von mir oben anschaut, ist es doch  richtig das man faktisch nur noch beweisen muss das x_n+1 das selbe wie 1 ist.
Und das muss man irgendwie mit dem Produktteil beweisen (weil da ist die eins ja zum greifen nahe).
Auch ist das Produkt von 1 bis n, ja eins, folglich wäre auch das Produkt von 1 bis n+1=1 ?

Die Frage ist nur wie?

PS: Ich nehme mal an im letzten Teil meiner obrigen Gleichung ist es nicht legitim einfach xn+1 zu subtrahieren.

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Also wie gesagt, schau Die den Link an, dort ist der Induktionsbeweis vollständig aufgeführt und erklärt.

So wie Du angefangen hast beim Induktionsschluss ist falsch. Du musst zeigen

$$ \sum_{k=1}^{n+1} x_k\ge n+1 $$ unter der Voraussetzung
$$ \prod_{k=1}^{n+1} x_k = 1 $$
$$ \sum_{k=1}^{n+1} x_k=\sum_{k=1}^n x_k + x_{n+1}  $$
Jetzt gilt aber nicht \( \sum_{k=1}^n x_k \ge n  \) weil nicht \( \prod_{k=1}^n x_k = 1 \) gilt.

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Also Ich hab mir das jetzt nochmal auf deutsch durchgelesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel

Und hab das jetzt so verstanden:

Also wir können unter dem Üblichen Summezeichen statt x_i  auch xi durch die nte Wurzel von p.

p ist dabei das übliche Produkt ,was ja eins ergibt.

Dann multipliziert man die nte Wurzel von p und dividiert n.

Was jetzt da steht , ist das was bei dir oben steht.

Dann multipliziert man noch mit n, und hat das was bei dir in der dritten gleichung steht.

Logisch!

Was nicht klar ist:

Ist das Produkt von eins bis n, denn das selbe wie die nte Wurzel aus diesem Produkt?

Eine Vollständige induktion ist das ja nicht, da man weder mit n+1 rechnet noch irgendwelche Anfänge formuliert?

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Den Induktionsschluß kann man wie folgt zeigen. Zu zeigen ist ja das gilt:
$$ x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1} \ge n+1 $$ unter der Voraussetzung
$$ x_1\cdot x_2 \cdots x_n\cdot x_{n+1} = 1 $$
Wir nehmen an, dass nicht alle für alle \( x_k \) gilt, \( x_k=1 \). Ansonsten wäre es ja trivial. Wenn es aber ein \(x_k \ne 1 \) gibt, gibt es mindestens zwei Zahlen die einmal größer als \(1  \) und einmal kleiner als \( 1 \)  sind. O.B.d.A nehmen wir jetzt \( x_1 \le 1 \) und \( x_2 \ge 1 \) an. D.h. es gilt
$$ (1) \quad (x_1-1)(x_2-1) \le 0 $$
Wegen der Induktionsvoraussetzung gilt
$$  n \le x_1\cdot x_2 + x_3+x_4+...+x_n+x_{n+1} $$ und wegen (1) folgt
$$ n \le x_1\cdot x_2 + x_3+x_4+...+x_n+x_{n+1} \le x_1 + x_2 +... + x_n+x_{n+1} -1 $$
Und das war zu beweisen.

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Okay habs, dankeschön. (-:

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Entschuldige ullim, das ich nochmal stören muss, aber mir beim nochmal durchlesen, doch noch eine unklarheit aufgefallen:

Die letzten zwei zeilen von dir sind mir unklar:

Nehmen wir mal an, das Produkt aus 1 bis n+1 ergibt immer eins. (auch wenns trivial ist)

In der vorletzten steht: n≤∏+∑x_iⁿ+(x_n+1)

Also n≤1+∑x_iⁿ⁺¹

Wo kommt das den her?

Das stimmt ja auch gar nicht. Alles andere ist klar, doch kommt irgenwie der Induktionsschritt nicht klar rüber,

Auch ist es sehr verwirrend, das wir erst auf arithmetische mittel setzten und jetzt "nur" umformen.

Ich würde mich sehr freuen, wenn du in deinem letzten Post, aber der zweiten Zeile den Induktionsschritt bzw. schluss nocheinmal deutlich  formulieren könntest ( am besten mit dem Produkt immer gleich eins).

Danke vielmals

Jan

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Also in der vorletzten Zeile steht die Summe von n Summanden die nach Induktionsvoraussetzung kleiner gleich n ist. Der erste Summand ist das Produkt der ersten beiden Summenglieder die man entsprechend der angegebenen Formel unter (1) abschätzten kann. daraus ergibt sich das Ergebnis.

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Also du meinst größer als n...

Das hat für mich alles irgendwie keine Struktur, was wahrscheinlich daran liegt das ich das erst seit 2 wochen mache.

Dabei ist alles bis "Wir nehmen an...." klar. Zwar ist das darauf folgende auch nachvollziehbar und logisch, doch ich versteht nicht wie das in irgendeiner weise helfen soll.

Ich hab jetzt das stehen was du in dem Kommentar vor 9 Stunden als vorletztes geschrieben hast und mir ist einfach nicht bewusst wie man jetzt etwas unformen muss um dann irgendwie eine Gleichheit zu zeigen.

Ist es nicht möglich, dass du das nochmal ohne (1) machst oder mir wenigstens einen Tipp gibst wie es ohne geht?

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Ja ohne (1) geht es nicht. Der Witz ist ja gerade das die Summe

$$  x_1\cdot x_2 + x_3 + ... + x_n+ x_{n+1} $$

n Summanden enthält und laut IV \( \ge n \) sein muss. Um auf eine Abschätzung der Summe

$$ (2) \quad x_1+ ...  +x_{n+1}  $$

zu kommen muss man (1) nach  \( x_1\cdot x_2  \) auflösen und in (2) einsetzten und entsprechend abschätzen.

Und ja, Du hast Recht, ich meinte größer gleich n.

Was ich noch anbieten kann ist der folgende Link

http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/036445.pdf

Da steht in knappen Worten das drin, was ich auch geschrieben habe. Aber das musst Du auch selber nachrechnen und verstehen. Mathematik ist da eben etwas schwierig.

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Als ich heute früh aufgewacht bin,  hab ich sofort an diese Aufgabe gedacht,  den ganzen Tag mit Kommilitonen darüber gerätselt,  dann aus der Wohnung ausgesperrt und jetzt im Einkaufszentrum nochmal angeschaut und ich habs,  also diesmal wirklich. 

Hab mir die Dokumente und deine Kommentare bestimmt hundertmal durchgelesen und war nur nicht in der lage zu erkennen das wenn man das produkt nach x1,x2 umstellt, man genau das bekommt was man braucht.  Eine summe plus eins. 

Ob ich auf den entscheidenden Schritt in (1) in einer Klausur gekommen wäre,  ist eine andere Frage.  Dazu fehlt mir glaub ich noch  das  mathematische Händchen. Aber das kommt sicher.

Also vielen Dank, die vier Punkte sind mir sicher.

Gruß Jan

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In einer Klausur ist das aber auch schwierig wenn man nicht vorher eine ähnliche Aufgabe hatte.