Vollständige Induktion mit Produktzeichen (Induktionsschritt)

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \prod \limits_{k=0}^{n+1} k^{k} \leq(n+1)^{\frac{(n+1)+(n+2)}{2}} \)

Problem/Ansatz:

Es kann jede natürliche Zahl eingesetzt werden.

Hallo, ich zerbreche mir seit 2 Tagen an der Aufgabe den Kopf. Die ganze Aufgabe soll mittels vollständiger Induktion bewiesen werden. ich habe auch nur Probleme mit Induktionsschritt, deswegen steht oben im Produktzeichen auch ein „n+1“. Bis jetzt hatte ich nie Probleme, aber ich schaffe es einfach nicht diese zu lösen. bitte um Hilfe

Comments

Wie lautet denn die Originalaufgabe?

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Text erkannt:

ii) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle \( n \in \mathbb{N}, n \geq 1 \) gilt:
\( \prod \limits_{k=1}^{n} k^{k} \leq n^{\frac{n(n+1)}{2}} \)

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Dann solltest du dir deine Ungleichung für n+1
nochmal genauer anschauen; denn die enthält
mehrere Fehler.

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Wenn man für jedes n ein (n+1) einsetzt, kommt meiner Ansicht nach genau das raus oder nicht?

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Die linke Seite: es muss unter dem Produktzeichen n=1 heißen

und rechte Seite: \((n+1)^{(n+1)\cdot (n+2)/2}\), also nicht "+" im

Exponenten, sondern "\(\cdot\)".

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Achso tut mir leid, ich glaube da hab ich mich vertippt. Hab es aber bei mir auf der Rechnung mit einem „*“ zu stehen.

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Schreibe dir weiter in meiner Antwort.

Answer 1

Induktionsschritt:

\(\prod_{k=1}^{n+1}k^k=(\prod_{k=1}^n k^k)(n+1)^{n+1}\).

Nun IV benutzen:

\(\leq (n^{n(n+1)/2})(n+1)^{n+1}\leq (n+1)^{n(n+1)/2} (n+1)^{n+1}=\)

\((n+1)^{(n^2+n+2n+2)/2}=(n+1)^{(n+1)(n+2)/2}\)

Comments

Danke dir erstmal für deine Hilfe, kannst du mir bitte noch sagen was du bei den einzelnen beiden Schritten gemacht hast. Kann das irgendwie nicht nachvollziehen. Das Umformen ist ja genau mein Problem.

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\(n^{n(n+1)/2}\leq (n+1)^{n(n+1)/2}\) ist wohl klar?

\(n(n+1)/2+n+1=(n(n+1)+2n+2)/2=\)

\(=(n^2+n+2n+2)/2=\)

\(=(n^2+3n+2)/2=(n+1)(n+2)/2\)