Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Produktzeichen

Question

Aufgabe: Induktion

(a) Gegeben ist eine Folge naturlicher Zahlen:$$x_1= 1\\x_2= 1\\x_{n+2} = 4\cdot x_n,\quad\forall n\in\mathbb N$$Zeigen Sie durch vollständige Induktion$$x_n = 3 · 2^{n−3} + (−2)^{n−3}\quad\forall n\in \mathbb N$$x_n = 3 · 2ⁿ⁻³ + (−2)ⁿ⁻³ ∀n ∈ N

(b) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass fur alle n ∈ N gilt:$$\prod\limits_{k=1}^{n} k^k \subseteq n^{n(n+1)/2}$$

∏ k^k ⊆ n^ n× (n+1) /2

(ich hoffe man versteht die Frage, über dem produktzeichen muss ein n stehen und da drunter k= 1, es ist nur schwierig das hier zu schreiben) 

Problem/Ansatz: Hi erstmal, ich hoffe ihr versteht die Aufgabe. Ich komme hier leider gar nicht weiter und hoffe dass ihr mir helfen könnt, danke schonmal :)

Comments

Hast du bei a) schon mal den Induktionsanfang versucht ?

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Ja aber irgendwie war ich mir da auch unsicher

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Dann schreib den doch mal  für die ersten beiden

(die muss man beide prüfen wegen der Rekursion von n nach n+2).

Der erste so:

$$3 \cdot 2^{1-3}+(-2)^{1-3}=3 \cdot 2^{-2}+(-2)^{-2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$$

Und bei b) ist es wohl so:

$$\prod \limits_{k=1}^{n} k^k \le n^{\frac{n(n+1)}{2}}$$

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Zu b) muss es wohl ≤ statt ⊆ heißen?

Answer 1

Zu (a)

Den Induktionsanfang hast Du ja schon.

$$ x_{n+1} = 4 x_{n-1} = 4 \cdot \left( 3 \cdot 2^{n-4} + (-2)^{n-4} \right) $$ und jetz \( 4 = 2^2 \) benutzen.

Zu (b)

Am besten die Ungleichung auf beiden Seiten logarithmieren und ausnutzen das der Logarithmus monoton wachsend ist.