vollständige Induktion mit Produktformel lösen

Question

Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe. Ich soll die Produktformel mittels vollständiger Induktion lösen.

$$ \prod_{i=0}^{n-1}{(1+z^{2^{i}})} = \frac{1-z^n}{1-z} $$ ?

wobei z ≠1

Answer 1

Da stimmt wohl was nicht:

rechts im Zähler muss es wohl  z^{2^n} heißen.

Für n=1 stimmt es:     1+z = (1-z^2) / (1-z)

Nimm an, es stimmt für ein n (Ind.annahme)

Dann (ersetze n durch n+1) gilt :

$$\prod_{i=0}^{n}{(1+z^{2^{i}})}$$

$$=(1+z^{2^{n}})*\prod_{i=0}^{n-1}{(1+z^{2^{i}})}$$

Dann die Ind.annahme

$$=(1+z^{2^{n}})*\frac{(1-z^{2^n})}{(1-z)}$$

Dann im Zähler 3. binomische Formel gibt

$$=\frac{(1-z^{2^{n+1}})}{(1-z)}$$

Passt also !