Da stimmt wohl was nicht:
rechts im Zähler muss es wohl z^{2^n} heißen.
Für n=1 stimmt es: 1+z = (1-z^2) / (1-z)
Nimm an, es stimmt für ein n (Ind.annahme)
Dann (ersetze n durch n+1) gilt :
$$\prod_{i=0}^{n}{(1+z^{2^{i}})}$$
$$=(1+z^{2^{n}})*\prod_{i=0}^{n-1}{(1+z^{2^{i}})}$$
Dann die Ind.annahme
$$=(1+z^{2^{n}})*\frac{(1-z^{2^n})}{(1-z)}$$
Dann im Zähler 3. binomische Formel gibt
$$=\frac{(1-z^{2^{n+1}})}{(1-z)}$$
Passt also !