Beweis durch vollständige Induktion Summenformel/Produktformel

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Aussagen durch vollständige Induktion:

(a)

Für alle n ∈ N \ {0} gilt

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{4}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}$$

(b)

Für alle n ∈ N mit n ≥ 2 gilt

$$\prod \limits_{k=2}^{n}(1-\frac{1}{k^{2}})= \frac{n+1}{2n}$$

Comments

b) Vielleicht nicht ganz so kompliziert wie hier https://www.mathelounge.de/553471/vollstandige-induktion-mit-produktformel-losen

Answer 1

a) Induktionsschluss:

Setze $$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{4}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}$$ voraus, addiere links das nächste Glied une ersetze rechts n durch n+1:

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{4}{k(k+1)(k+2)} + \frac{4}{(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{(n+1)(n+4)}{(n+2)(n+3)}$$

Ersetze hier den Summenterm ganz links gemäß Voraussetzung und zeige die Gleichheit durch Termumfomungen.

b) Analog zu a) mit "·" satt "+".

Comments

\(\dfrac4{(k+1)(k+2)(k+3)}\) muss heißen \(\dfrac4{(n+1)(n+2)(n+3)}\).

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Spacko hat recht. Schreibhehler meinerseits.

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Das mit dem Einsetzen habe ich nicht ganz verstanden

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Ersetze in meiner zweiten Zeile die Summe

 $$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{4}{k(k+1)(k+2)} durch den Bruch \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}$$ voraus,