Geometrische Summenformel - Beweis durch vollständige Induktion

Question

Ich weiß wie man eine vollständige induktion anwedet, wenn da nur das n stehen würde, was ändert der teil"q ∈R\ {1}" wie soll ich da vorgehen

Füralle n ∈N0 undfür q ∈R\ {1} gilt:Pn k=0 qk = (q^n+1−1)/( q−1) ;

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

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wenn ich den artikel verstehen würde hätte ich hier nicht nachefragt

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Die vollständige Induktion läuft nur über n. Ich weiß aber nicht, was Pn ist.

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was ändert der teil"q ∈R\ {1}"

Bei der Anwendung der Formel wird mit q=1 der Nenner Null, darum ist die 1 mit q ∈R\ {1} aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Am Induktionsbeweis ändert das nichts.

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Was verstehst du denn genau nicht in dem Artikel?

Ansonsten kann ich dir noch diesen Link empfehlen:

http://www.mathepedia.de/Geometrische_Reihe.aspx

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danke hat sehr geholfen

Sehr schön, dann mache ich mal eine Antwort daraus, dann ist das abgehakt.

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also am ende muss ich beweisen das (q^{n+2}-1)/(q-1) ...(q^{n+1}12)/(q-1)+(n+1)

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Vom Duplikat:

Titel: vollstöndige induktionsss

Stichworte: induktion,analysis

Ich kann diese aufgabe einfach nicht lösen es scheitert schon beim Induktionsafang   :Pn k=0 q^k = (q^{n+1}−1)/ (q−1) ;

auf der linken seite steht dann für n= 1  q^0 = 1

und auf der rechten seite steht (q^{1+1}-1)/(q-1) wie soll das 1 ergeben?

ich habe mit den 3. binom es auf (q+1)( kürzen könne aber das kann ja auch nicht richtig sein

Wie soll ich da vorgehen?

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\(n=1: \frac{q^2-1}{q-1}=q+1=q^1+q^0\). Starte aber besser mit \(n=0\).

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Funktioniert es mit n=1 nicht? weil q^1+q^= ist ja auch nicht 1

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Es soll auch nicht \(1\), sondern \(\sum\limits_{k=0}^1q^k=q^0+q^1\) sein, wenn \(n=1\) ist.

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ja aber ist die aussage nicht falsch wenn da steht q^0 = q^0+q^1

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Das wäre tatsächlich falsch, steht da aber nicht, sondern \(q^0+q^1=1+q\).

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und wie kommt das ? der rechte teil ist klar aber wie wird aus q^k  ...q^0+q^1? k is doch 0 sollte daraus nicht nur 1 bzw. q^0 werden?

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Wenn \(n=1\) ist, läuft die Summe von \(k=0\) bis \(k=1\), hat also zwei Summanden, \(q^0+q^1\), und eben nicht nur \(q^0\).

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https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Geometrische_Summenformel#Beweis_mit_vollst.C3.A4ndiger_Induktion

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Vom Duplikat:

Titel: vollständige induktion is

Stichworte: induktion,grenzwert

kann den induktions schrit nicht beweisen für: Füralle n ∈N0 undfür q ∈R\ {1} gilt:Pn k=0 qk = (qⁿ+1−1)/( q−1) ;

(qⁿ⁺²-1)/(q-1) =[(qⁿ⁺¹-1)/(q-1)]+(n+1)  das soll ich beweisen aber ich kriege es einfach nicht hin oder ist der ansatz falsch?

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Tut mir leid bitte ignoriert die frage die schreibweise ist fehlerhaft

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Vom Duplikat:

Titel: Induktionsschritt beweisen: Summenformel für geometrische Reihen

Stichworte: induktion,geometrische,reihe,partialsumme

kann den induktions schrit nicht beweisen für: Füralle n ∈N0 undfür q ∈R\ {1} gilt:∑_{k=0 bis n} q^k = (q^{^n+1}−1)/( q−1) ;

(qⁿ⁺²-1)/(q-1) =[(qⁿ⁺¹-1)/(q-1)]+(n+1)  das soll ich beweisen aber ich kriege es einfach nicht hin oder ist der ansatz falsch? ∑

Answer 1

was ändert der teil"q ∈R\ {1}"

Bei der Anwendung der Formel wird mit q=1 der Nenner Null, darum ist die 1 mit q ∈R\ {1} aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Am Induktionsbeweis ändert das nichts.

Answer 2

(qⁿ⁺²-1)/(q-1) =[(qⁿ⁺¹-1)/(q-1)]+(n+1)

ist fast der richtige Ansatz. Allerdings ist der letzte Summand

deiner Summe ja nicht n+1 sondern  q ⁿ⁺¹  .

Also ganz richtig:  (qⁿ⁺²-1)/(q-1) =[(qⁿ⁺¹-1)/(q-1)]+q⁽ⁿ⁺¹⁾ .

Und das bekommst du hin: alles mal (q-1) nehmen gibt

  (qⁿ⁺²-1) =(qⁿ⁺¹-1)+(q-1)*q⁽ⁿ⁺¹⁾

und das ist es schon fast.