Lösen durch vollständige Induktion

Question

Aufgabe:

vollständige Induktion

n

∏ (1- 2/(k(k+1))) = 1/3 (1 + 2/n)   n≥2

k=2
Problem/Ansatz:

Comments

Wo fehlen überall Klammern?

Answer 1

Hallo Johanna,

Zu zeigen ist, dass $$\prod_{k=2}^n \left(1- \frac 2{k(k+1)}\right) = \frac 13 \left(1 + \frac 2n \right), \quad n \ge 2$$Dass die Gleichung für \(n=2\) stimmt, lässt sich leicht prüfen. Es steht auf jeder Seite \(2/3\).

Nun noch den Übergang von \(n\) nach \(n+1\):$$\begin{aligned} \prod_{k=2}^{n+1} &\left(1- \frac 2{k(k+1)}\right) \\ \quad &= \prod_{k=2}^n \left(1- \frac 2{k(k+1)}\right) \cdot \left( 1 - \frac 2{(n+1)(n+2)}\right)\\ &= \frac 13 \left(1 + \frac 2n \right) \cdot \left( 1 - \frac 2{(n+1)(n+2)}\right)\\ &= \frac 13\left( 1 - \frac 2{(n+1)(n+2)}+ \frac 2n - \frac 4{n(n+1)(n+2)} \right)\\ &= \frac 13 \left( 1 + \frac{-2n + 2(n+1)(n+2) - 4}{n(n+1)(n+2)}\right)\\ &= \frac 13 \left( 1 + \frac{ 2(n+1)(n+2) - 2(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\right)\\ &= \frac 13 \left( 1 + \frac{ 2(n+1) - 2}{n(n+1)}\right)\\ &= \frac 13 \left( 1 + \frac{2 n}{n(n+1)}\right)\\ &= \frac 13 \left( 1 + \frac{ 2}{n+1}\right)\\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$

Answer 2

Für n=2 hast du beim Produkt ja nur einen Faktor, also musst du prüfen

1 - 2 / (2*3)  =   (1/3) (  1 + 2/2 )

<=>  1 - (1/3) =  (1/3) * 2    Das stimmt.

Angenommen es gilt für n, zeige, dass es dann

auch für n+1 gilt.

Das Produkt geht ja dann bis n+1 , aber für die

ersten Faktoren bis n kannst du die Annahme einsetzen und hast

( 1/3 )(1 + 2/n)   * (1 - 2 / (( n+1)*(n+2))  )

und wenn es stimmt, musst du das ja umformen können zu

( 1/3 )(1 + 2/(n+1))  . Also versuchen wir das:

( 1/3 )(1 + 2/n)  * (1 - 2 / (( n+1)*(n+2))  )       1 als Bruch schreiben

=( 1/3 )(1 + 2/n)  * (((n+1)(n+2)) / ((n+1)(n+2)) - 2 / (( n+1)*(n+2))  )

=( 1/3 )(1 + 2/n)  * ((n+1)(n+2) - 2) / (( n+1)*(n+2))

=( 1/3 )(1 + 2/n)  * (n^2 + 3n + 2 - 2) / (( n+1)*(n+2)) 

=( 1/3 )(1 + 2/n)  * (n^2 + 3n) / (( n+1)*(n+2)) 

=( 1/3 )(1 + 2/n)  * (n ( n + 3) ) / (( n+1)*(n+2))   Jetzt die vordere 1

=( 1/3 )(n/n + 2/n)  * (n ( n + 3) ) / (( n+1)*(n+2))   

 =( 1/3 ) (  (n+2)/n ) * (n ( n + 3) ) / (( n+1)*(n+2))   n und (n+2) kürzen

=( 1/3 ) (  ( n + 3)  / ( n+1) )

und das ist ja in der Tat das gleiche wie ( 1/3 )(1 + 2/(n+1))  .  q.e.d.