Notation zu metrischen Räumen: d : M x M → R, d(x,y) := | {i ∈ (1,..,n) : xi ≠ yi } |

Question

Hab in analysis I eine Aufgabe in der ich zeigen soll dass es sich um einen metrischen Raum handelt.

Angabe:  M := {0,1}ⁿ     

Das sollen Mengenklammern sein und n ist aus den natürlichen Zahlen. 

d : M x M → R, d(x,y) := | {i ∈ (1,..,n) : xi ≠ yi } |          Das sollen auch mengenklammern sein und i ist der Index von x und y!! 

Meine Frage:   Was bedeutet das n als exponent der Menge {0,1}?Ist das die Dimension?

Und wie kann ich die abstandsfunktion d(x,y) verstehen? D.h sie misst die Anzahl aller Abstände bei denen x ungleich y? 

Bisher weiß ich dass man für einen metrischen Raum definitheit und Symmetrie und die dreiecksungleichung braucht. Allerdings kann ich die nicht anwenden wenn ich nicht weiß wovon die Angabe redet :p. 

Hoffe da kann einer licht ins Dunkel bringen! 

Danke 

Answer 1

also ich tipp mal  {0;1}^n bedeutet :
alle n-Tupel mit Komponenten aus {0;1} 

und der abstand von zwei solcher Tupel ist einfach nur die anzahl der
Stellen, an denen sie verschieden sind, wenn du z.B.
(0101010)   und (0111011) wäre der abstand 2, weil an zwei Stellen,
nämlich bei 3 und bei 7 verschiedene werte sind.
d.h. in der Definition wäre die Menge mit den i's die Menge {3;7},
hat also 2 Elemente ; denn das heißt ja   |{3;7}| =2

Comments

Ok, das mit den n-Tupeln würde Sinn machen. Aber wie kommst du darauf dass der Abstand von deinen beispielvektoren 2 ist? Da müsste man doch erst was rechnen.. Warum machst du das an den unterschiedlichen Einträgen fest?

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d(x,y) :=| { i ∈ (1,..,n) : xi ≠ yi } | 

Die äußeren Striche heißen.  Anzahl der Elemente der Menge bzw. Mächtigkeit

Die Menge selbst ist in Worten:  Menge aller i aus {1,...,n} mit der Eigenschaft xi ungleich yi

Diese Menge musst du erst mal bilden, d.h. du musst aus {1,...,n} diejenigen 

i heraussuchen bei denen xi und yi verschieden sind. Die xi und yi sind

aber die Komponenten derjenigen Tupel, deren Abstand man bestimmen

soll, muss also nur schauen bei der wievielten Komponente die sich

unterscheiden, das ist bei meinem Beispiel die 3. und die 7.

Also ist :   Menge aller i aus {1,...,n} mit der Eigenschaft xi ungleich yi = {3;7}

und die hat die Mächtigkeit 2.

Und wenn du jetzt mit deiner Metrik loslegst:

Definitheit   Ich glaub, das heißt: 

Für alle Tupel a ist der d(a,0) >=0 und gleich Null nur fürs Nulltupel

Wenn du jetzt irgendein Tupel a hast und willst  d(a,0) dann musst du nur

zählen an wieviel Stellen sich das vom Nulltupel unterscheidet, das Ergebnis ist

natürlich eine Zahl >= 0 und = kommt nur raus, wenn die sich gar nicht unterscheiden,

also wenn das a das Nulltupel ist.

Symmetrie ist trivial und dreiecksungleichung, da würde ich erst mal ein paar Beispiele

machen:   

wenn zwischen a und c z.B. an drei Stellen unterschiede sind und zwischen

c und b an 5 Stellen, dann können es zwischen a und b zwar weniger Unterschiede

sein, aber nicht mehr

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 Danke für die ausführliche Erklärung. Ich habe jetz verstanden :). 

Hab bei der definitheit und der Symmetrie argumentiert (wüsste nicht was man da rechnen soll) eine Anzahl ist ja immer größer gleich 0 weil wie könnten -1 Komponenten ungleich sein. Symmetrie ist ja klar.. Aber die dreiecksungleichung allgemein zeigen... ich Knobel noch etwas glaube ich bin auf'nrichtigen weg

Danke nochmal!

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na dann noch guten erfolg

bei Dreiecksungleichung ist wohl sowas drin wie

wenn a und c  x verschiedene Komponenten haben dann stimmen ja n-x üb erein

und c und b haben y verschiedene komponenten, dann stimmen n-y überein

und dann .....  ???

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Kann man mir den gar nicht helfen ??? Ich meine wenn kann ich den bitte sonst fragen ? Ignorieren ist da auch nicht so nett... https://www.mathelounge.de/175459/unternehmen-skaterparks-funktionsscharen-parameter-steigung

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d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y).   Dreiecksungleichung  Wenn x und y c gleiche Komp haben dann n-c ungleiche Wenn x und z b gleiche Komp haben dann n-b ungleiche Wenn z und y a gleiche Komp haben dann n-a ungleiche Dann ist n-c <= n-a+n-b       <=>    -c + a + b <= n  Und a b c sind alle kleiner als n..   Jetz muss ich aber eine Beziehung zwischen a b c herstellen um Aussagen zu können dass die Ungleichung gilt..  
Und lieber Gast ich würde dir gern helfen, ich schaus mir mal an eventuell weiß ja ein Erstsemester doch was