Sei a ∈ ℝ. Wir definieren die Funktion ƒ : ℝ → ℝ durch

Question

$$ f\left( x \right) :=\begin{cases} \frac { 1 }{ 1-x } \quad \quad falls\quad x\neq 1, \\ a,\quad \quad falls\quad x=1. \end{cases} $$

1)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion ƒ für a = 2.

2)

Beweisen Sie mit ε und δ, dass ƒ nicht stetig in 1 ist.

Answer 1

Zur Stetigkeit:
Wähle \( \epsilon = 2 \) dann muss es ein \( \delta > 0 \) gegen, s.d. für alle x aus der Delta-Umgebung von 1 gilt
$$ |f(x)-f(1)| < \epsilon $$
In jeder Delta-Umgebung von 1 liegen Werte \(x  \) mit \( x> 1 \)
Es gilt
$$ |f(x)-f(1)|=2+\frac{1}{x-1} $$ und dieser Ausdruck ist größer als 2. Damit ist die Funktion nicht stetig in \( x=1 \)

Comments

könnte mir jemand erklären, wie man auf die

2 + 1/x-1 kommt?

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Hey ich versuchs mal :P

Also Epsilon wird in diesem Beispiel =2 gewählt und  1/(x-1) ist ja oben in der Funktionsvorschrift bei x ungleich 1 vorgeschrieben. So ergibt sich 2+1/(x-1).

Hoffe ich habe es richtig erklärt, wenn nicht bitte berichtigen :P

Gruß = )

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aber für x ungleich 1, ist doch 1/-x+1 vorgeschrieben?

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$$  | f(x) - f(1) | = \left| \frac{1}{1-x}-2 \right| = \left|  \frac{1-2(1-x)}{1-x} \right| = \left|  \frac{2x-1}{x-1} \right| $$

Und mit Polynomdivision erhältst Du jetzt

$$  2+\frac{1}{x-1} $$

Answer 2

Zur 1) kann dir Wolfram Alpha helfen, aber generell kannst du dir auch eine Tabelle für alle x von zB -3 bis +3 aufstellen und dass dann ausrechnen

( https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281-x%29 )

Comments

Hey danke : )
Bei Wolfram Alpha, welchen Graph muss man denn da nehmen? Da sind ja immer jeweils zwei Graphen=?

Gruß

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Wie es dir beliebt. Wenn du rechts beim Plot guckst, dann siehst du, dass das die Größe des Plots ist. Also ich würde hier vielleicht empfehlen ein plot von x = -4 bis 4 und y = -4 bis 4 zu zeichnen.

Viel Spaß ;)

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Müsst ihr bei Wolfram Alpha nicht a=2 eingeben anstatt 1/(1-x)?

Die Aufgabenstellung lautet doch a=2 . Sorry wenn ich nerve bin in Mathe nicht der hellste Stern.

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Du sollst ja nur a einsetzen wenn das x 1 ist, aber die funktion an sich lautet 1/(1-x)

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Aber da gilt doch a =2... 
Dann müsste es doch beispielsweise x = 1 und y = 2 sein, wenn man das skizzieren will... 
Oder liege ich falsch?

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am besten du machst dir mal eine tabelle wo du oben einmal x von -3 bis 3 schreibst und unten setzt du dann die lösung zum jeweiligen x ein (also 1/(1-x)). wenn du dann bei x = 1 angekommen bist setzt du stattdessen als ergebnis 2 ein, weil das die Aufgabe ja so sagt ;)