Grenzwert einer rekursiv definierten Folge: a0=1, an+1 = an/2 + 1/an mit n ∈ℕ.

Question

ich muss den Grenzwert folgender Folge bestimmen:

eine Folge (a_n) rationaler Zahlenist  rekursiv definiert durch:

a₀=1,  a_n+1 = a_n/2 + 1/a_n   mit n ∈ℕ.

Wir dürfen ebenfalls ohne Beweis annehmen, dass die Folge konvergiert.

Ich hab also angefangen mit a = a²+2 / 2a   ( das ist ja  a_n+1), das hab ich in anderen Forum gelesen, dass man a so berechnen kann.      nach a augelöst: a²+2 = 0

0 = lim _n→∞ ( a²+2) = lim _n→∞ (a² ) + lim _n→∞ (2) = lim _n→∞ (a² ) +2

so aber stimmt das so? der grenzwert wäre ja hier unendlich dann oder?

Comments

$$a=\frac a2+\frac1a\Leftrightarrow a^2=2.$$

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hast Du verstanden, was der Kommentator "gasthj193" Dir mitteilen wollte ?

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ehm nein ... :D

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mach dir nix draus - ich auch nicht !

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vorab mal Abgleich der Aufgabenstellung:
$$ a_0=1$$ $$  a_{n+1} = \frac{a_n}{2} +\frac{1}{a_n} $$
stimmt das so ?

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Hat sich mit einer späteren Antwort überschnitten:

Hallo pleindespoir,

bei Deiner reichlichen Forumserfahrung, scheint mir Dein Kommentar doch befremdlich.

Mir scheint der Gast hat versucht den Grenzwert der Folge zu bestimmen.


pwm

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So einen Eindruck hatte ich auch - aber auch den, dass mangels Erläuterung dabei wenig Klarheit beim Fragesteller eintrat.

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Es reicht hier nicht den Grenzwert auszurechnen. Zuerst muss die Existenz des Grenzwertes gezeigt werden und dann kann man ihn ausrechnen.

Die Existenz kann man z.B. dadurch zeigen das die Folge ab einem Index n monoton fallend und beschränkt ist. Wenn das erledigt ist kann man den Schritt von Gast hj193 durchführen, vorher macht das keinen Sinn.

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Das macht insofern Sinn, als dass lt. Aufgabenstellung ohne Beweis angenommen werden darf, dass die Folge konvergiert.

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aber was ist nun der grenzwert? 2 etwa?

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Also da steht nirgendwo, dass die Folge konvergent ist. Das ist eben zu beweisen.

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Zitat aus der Aufgabenstellung: Wir dürfen ebenfalls ohne Beweis annehmen, dass die Folge konvergiert.

Die Tomaten auf den Augen sollten besser gegessen werden ...

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Naja, kann ja mal passieren:)

Answer 1

aber was ist nun der grenzwert? 2 etwa?

a^2 = 2     (vgl. erster Kommentar)

a = √2  oder a = -√2

Nun musst du dir noch überlegen, welcher dieser Werte erreicht werden kann, wenn der Startwert 1 ist. Können die Folgenglieder positiv oder negativ sein?

Comments

Wenn ich die Werte bei a0 startend in die Gleichung eingebe sehe ich auch dass der Granzwert Wurzel 2 beträgt, aber mir ist nicht klar und auch nicht aus der Vorlesung ersichtlich wie diese Umformung funktioniert, dass a² = 2 ist.

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a = a/2 + 1/a       |*2a

2a^2 = a^2 + 2      |-a^2

a^2 = 2

Answer 2

Wenn du aus dem obigen Ausdruck 1/2 ausklammerst, erhältst du einen Ausdruck, der sich Heron-Verfahren oder Babylonisches Wurzelziehen nennt. In diesem Falle ist es das Verfahren zur Annäherung der Wurzel von 2.
Wenn du mal danach suchst findest du bestimmt gute Ansätze für eine Lösung.

Noch eine Frage die mich interessiert: Studierst du zufällig in Heidelberg und dein Professor ist Markus Banagel? Deine Fragen kommen mir bekannt vor ...

Answer 3

Lese mal nach bei Wikipedia: Heron-Verfahren

Praktisch kann man das online per Iterationsrechner Beispiel 15 berechnen.

Habe mal Anpassungen genau für diese Aufgabe vorgenommen:

http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=1;a=1;IM=2;b=@Q2);c=exp(log(2)/2);@N@Bi+1]=@Bi]/2+1/@Bi];@Ci]=a=@Bi]-@Bi+1];@N@Aa)%3C1e-15@N1@N0@N#  

(LINK endet mit N# und beinhaltet alle Formeln)

Wie man sieht, stimmen alle 3 Werte überein: b=sqrt(2);c=exp(log(2)/2); und aB[5]

Wenn man sich nicht sicher ist, sollte Abbruch i>5 sein, da es bei Divergenz zur Endlosschleife kommt

Comments

hhhhhhhhhhhhhhhhhh