Question

Zeigen Sie, dass Q × Q zu einem Körper wird, wenn Addition und Multiplikation wie folgt definiert werden: Für (a, b), (c, d) ∈ Q × Q gilt

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Untersuchen Sie, ob in dem Körper Q × Q die Gleichung x2 = −1 eine Lösung besitzt. Lässt sich der Körper Q × Q anordnen? 

Answer 1

musst du alle Körperaxiome durchprüfen
z.B. assoziativ für addition

((a, b) + (c, d)) + (e,f)   = (a + c, b + d) + (e,f)

                                      = ((a + c)+e, (b + d)+f)   wegen assoziativ in Q

                                      = (a + (c+e), b +( d+f) )

                                      = (a,b) + (c+e,d+f)

                                     = a,b) + ( (  c,d)  +  (e,f)  ) q.e.d.

und so weiter alle axiome

(0,1)*(0,1)  =   (-1,0)  also hat x^2 = -1 eine Lösung

                       

Comments

warum nimmst du d,f noch mit dazu?

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weil zum Nachweis der Assoziativität 3 Elemente des Körpers,

hier also drei Paare gebraucht werden.

Allgemein heißt es doch  (a+b)+c = a+ (b+c)

Die a,b,c sind aber bei dir Paare.