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Zeigen Sie, dass \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) ein Körper ist
Um zu zeigen, dass \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) ein Körper ist, müssen wir in zwei Schritten vorgehen. Zuerst zeigen wir, dass es sich um einen Teilring von \( \mathbb{R} \) handelt, und anschließend beweisen wir, dass dieser Teilring die Eigenschaften eines Körpers erfüllt.
a) \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) ist ein Teilring von \( \mathbb{R} \).
Ein Teilring von \( \mathbb{R} \) muss folgende Kriterien erfüllen:
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Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation: Für alle \( a + b\sqrt{d}, c + d\sqrt{d} \in \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \), wobei \( a, b, c, d \in \mathbb{Q} \), muss gelten, dass \( (a + b\sqrt{d}) + (c + d\sqrt{d}) \) und \( (a + b\sqrt{d}) \cdot (c + d\sqrt{d}) \) ebenfalls in \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) liegen.
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Existenz eines neutralen Elements bezüglich Addition und Multiplikation: 0 und 1 sind in \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) enthalten, da sie als \( 0 + 0\sqrt{d} \) bzw. \( 1 + 0\sqrt{d} \) dargestellt werden können.
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Existenz des Inversen bezüglich Addition: Für jedes Element \( a + b\sqrt{d} \) in \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) existiert das additive Inverse \( -a - b\sqrt{d} \), welches auch in \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) liegt.
Beweis der Abgeschlossenheit:
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Addition: \( (a + b\sqrt{d}) + (c + d\sqrt{d}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{d} \). Da \( a, b, c, d \in \mathbb{Q} \) und die Summe rationaler Zahlen wieder rational ist, ist das Ergebnis wieder in \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \).
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Multiplikation: \( (a + b\sqrt{d}) \cdot (c + d\sqrt{d}) = ac + ad\sqrt{d} + bc\sqrt{d} + bd(\sqrt{d})^2 = (ac + bd\cdot d) + (ad + bc)\sqrt{d} \). Da \( ac + bd\cdot d \) und \( ad + bc \) rationale Zahlen sind, gehört auch das Produkt zu \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \).
b) Dieser Teilring ist sogar ein Körper.
Um zu zeigen, dass \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) ein Körper ist, müssen wir die Existenz des multiplikativen Inversen für jedes Nichtnull-Element \( x+y\sqrt{d} \) in \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) beweisen.
Sei \( x + y\sqrt{d} \) ein Element von \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) mit \( x, y \in \mathbb{Q} \) und \( x + y\sqrt{d} \neq 0 \). Wir suchen ein Element \( a + b\sqrt{d} \), sodass
\( (x + y\sqrt{d}) \cdot (a + b\sqrt{d}) = 1. \)
Um das multiplikative Inverse zu finden, betrachten wir:
\( 1/(x+y\sqrt{d}) = \frac{1}{x+y\sqrt{d}} \cdot \frac{x-y\sqrt{d}}{x-y\sqrt{d}} = \frac{x-y\sqrt{d}}{x^2-dy^2}. \)
Da \( x^2-dy^2 \) nicht Null sein kann (weil angenommen wurde, dass \( x + y\sqrt{d} \neq 0 \)), und \( x, y, d \) rational sind, ist der Nenner eine rationale Zahl (außer \( x \) und \( y \) sind beide Null, was der Annahme \( x + y\sqrt{d} \neq 0 \) widerspricht). Daher ist das Inverse von \( x + y\sqrt{d} \) in der Form \( \frac{x}{x^2-dy^2} - \frac{y}{x^2-dy^2}\sqrt{d} \), was zeigt, dass das Inverse wieder in \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) liegt.
Fazit: Da \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) abgeschlossen ist bezüglich Addition und Multiplikation, ein neutrales Element und Inverse bezüglich der Addition und Multiplikation für jedes Nichtnull-Element besitzt, ist es ein Körper.
