Hallo
Die Gleichung w^3 +a2 w^2 +a1 w +a0 = 0 kannst Du umformen in a0/w^3 +a1/w^2 +a2/w +1 = 0
und daraus (a0/a1w)^3 +(a0/a1w)^2 +a2*a0/a1^2 (a0/a1w) +a3*a0^2/a1^3 = 0 machen
Nun ersetzt Du a0/a1w durch z -1/3:
(z -1/3)^3 +(z -1/3)^2 +a2*a0/a1^2 (z -1/3) +a0^2/a1^3 = 0
(z^3 -z^2 +1/3 z -1/27) +(z^2 -2/3z +1/9) +(a2*a0/a1^2 z -1/3*a2*a0/a1^2) +a0^2/a1^3 = 0
z^3 +(a2*a0/a1^2 -1/3) z -1/27 +3/27 -1/3*a2*a0/a1^2 +a0^2/a1^3 = 0
z^3 +(a2*a0/a1^2 -1/3) z +2/27 -1/3*a2*a0/a1^2 +a0^2/a1^3 = 0
Du kannst also z als 3. Wurzel direkt bestimmen, falls für den linearen Koeffizient gilt: a2*a0/a1^2 -1/3 = 0
In diesem Fall gilt dann:
z = - (+2/27 -1/3*a2*a0/a1^2 +a0^2/a1^3)^{1/3} = 1/3 +a0/a1/w
w = a0/a1 / (-1/3 -(+2/27 -1/3*a2*a0/a1^2 +a0^2/a1^3)^{1/3})
Also musst Du a2, a1, a0 so berechnen, dass gilt 3*a0*a2 = a1^2
Du hast also als gegebene Koeffizienten b0, b1, b2 für das normierte kubische Polynom und erhältst
x^3 +b2 x^2 +b1 x +b0 = 0 ==> (x -k)^3 +(3*k +b2) (x -k)^2 +(3*k^2 +2*b2*k +b1) (x -k) +k^3 +b2 k^2 +b1 k +b0 = 0
= (x -k)^3 +a2 (x -k)^2 +a1 (x -k) +a0 = 0
also besteht das Problem darin, k zu finden:
3*a0*a2 = a1^2 <=> 3 * (k^3 +b2 k^2 +b1 k +b0) * (3 k +b2) = (3 k^2 +2b2 k +b1)^2
3 (3k^4 +b2 k^3 +3b2 k^3 +b2^2 k^2 +3b1 k^2 +b1 b2 k +3b0 k +b0b2)
= (9k^4 +12 b2 k^3 +4b2^2 k^2 +6b1 k^2 + 4b1b2 k +b1^2)
<==> (9 k^4 +3 b2 k^3 +9 b2 k^3 +3 b2^2 k^2 +9 b1 k^2 +3 b1 b2 k +9 b0 k +3 b0b2)
= (9k^4 +12 b2 k^3 +4b2^2 k^2 +6b1 k^2 + 4b1b2 k +b1^2)
<==> (3 b1 -b2^2 ) k^2 +(9 b0 - b1b2) k +3 b0b2 -b1^2 = 0
In Deinem Beispiel ist b0 = -14 und b1 = -4 und b2 = 0, also ist k:
(3*(-4) -0) k^2 +(9*(-14) -0) k +3*0 -(-4)^2 = 0
-12 k^2 -126 k -16 = 0 <=> 12 k^2 +126 k +16 = 0 <=> k1,2 = 1/12*( -63 +/- (63^2 -192)^{1/2})) = 1/12*(-63 +/- (3777)^{1/2}) = -0.128558145 oder -10.037144185
==> k1 = -0.128558145
und a0 = k1^3 +b2 k1^2 +b1 k1 +b0 = - 13.48789212
und a1 = 3 k1^2 +2 b2 k1 +b1 = - 3.950418409
und a2 = 3 k1 +b2 = - 0.385674437
w^3 +a2 w^2 +a1 w +a0 = 0
w = x -k = a0/a1 / (-1/3 -(+2/27 -1/3*a2*a0/a1^2 +a0^2/a1^3)^{1/3})
x1 = k +a0/a1 / (-1/3 -(+2/27 -1/3*a2*a0/a1^2 +a0^2/a1^3)^{1/3})
x1 = -0.128558145 +(-13.48789212)/(-3.950418409)
/ (-1/3 - (2/27 -1/3*(-0.385674437)*(-13.48789212)/3.950418409^2 +13.48789212^2/(-3.950418409^3)^{1/3} )
= -0.128558145 + 3.414294739 / (-1/3 -(-2.987966836)^{1/3}) = -0.128558145 + 3.414294736 / (1.106985339)
= 2.955759791
Probe: x1^3 -4 x1 -14 = 0.00000337 (w)
