Question

Zeigen Sie, dass Q(√2) ein Körper ist.

Ich war leider in der letzten Vorlesung nicht anwesend und habe keine Ahnung wie man das macht, vielleicht kann mir das ja einer erklären

Answer 1

Offenbar ist \(K:=\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:\; a,b \in \mathbb{Q}\}\)

der Span von \(\{1,\sqrt{2}\}\) im \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}\).

Damit ist \((K,+)\) schon mal eine additive Gruppe. Distributivgesetze und

Assoziativgesetz der Multiplikation gelten ja sogar in der Obermenge \(\mathbb{R}\).

Die multiplikative Abgeschlossenheit ist rasch gezeigt. Das Einslement von \(K\)

ist die reelle 1. Das Einzige, was noch überprüft werden muss, ist die

Existenz des multiplikativ Inversen zu beliebigem \(x\in K^*\).

Mach mal Vorschläge ...

Answer 2

Dann ist ja Q(√2) so definiert:

Q(√2) = {x∈ℝ | ∃a,b ∈ℚ mit x=a+b√2}

Also musst du zeigen :

Abgeschlossenheit gegenüber + und *.

neutrale Elemente   also 0 und 1 enthalten

Assoziativ- und Distributivgesetz gelten ( da Teilmenge von ℝ)

multiplikative Inverse der von 0 verschiedenen Elemente

findest du durch (a+b√2) * ( c+d√2 ) = 1 .

Schön ausgeführt dort

https://www.mathelounge.de/4034/sei-k-q-2-x-y2-r-x-y-q-zeigen-sie-dass-k-ein-teilkorper-von-r-ist