Sei K = Q(√2) = {x + y√2 ∈ R | x, y ∈ Q}. Zeigen Sie, dass K ein Teilkörper von R ist.

Question

folgende aufgabe bereitet mir echte probleme:

Sei K = Q(√2) = {x + y√2 ∈ R | x, y ∈ Q}.

Zeigen Sie, dass K ein Teilkörper von R ist.

 

Ich weiß einfach nicht wie man hier vorgehen soll

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Vielleicht noch einmal eine etwas allgemeinere Antwort:
Betrachtet man den Grundkörper ℚ, so kann man ℝ als Vektorraum mit der unendlichen Basis B={√x: x ist eine Primzahl}∩{1} verstehen.

Alle Elemente in ℝ lassen sich nach dieser Basis entwickeln. Wir betrachten hier einen Teilraum von ℝ, der dadurch aufgespannt wird, dass wir die Basis auf {1, √2} einschränken. Damit kann man nicht mehr alle Elemente von ℝ darstellen.

 

Das ganze ist also keine Herleitung, sondern eine Definition!

Answer 1

K heißt Teilkörper von ℝ genau dann, wenn alle Operationen in K abgeschlossen sind, also nicht aus K selbst herausführen. Man muss quasi die Körperaxiome alle prüfen und dabei besonders darauf eingehen, dass die entstehenden Zahlen alle Elemente von K sind.

Zu zeigen ist: K ist abgeschlossen bezüglich Addition, Multiplikation, Negation und Kehrwertbildung. Also:

I) a, b ∈ K ⇒ a+b ∈ K

II) a, b ∈ K ⇒ a·b ∈ K

III) a ∈ K ⇒ -a ∈ K

IV) a ∈ K ⇒ a^-1 ∈ K

ad I): Seien a und b aus K, das heißt es existieren x₁, x₂ und y₁, y₂ ∈ ℚ mit

a = x₁ + y₁√2

b = x₂ + y₂√2

Dann gilt:

a+b = (x₁ + y₁√2) + (x₂ + y₂√2) = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)√2

Da ℚ ein Körper und damit additiv abgeschlossen ist, gilt (x₁+x₂)∈ℚ und (y₁+y₂)∈ℚ. Also gilt a+b∈K.

ad II): a, b, x₁, x₂, y₁, y₂ wie oben. Dann gilt:
a·b = (x₁ + y₁√2) · (x₂ + y₂√2) = (x₁x₂ + 2y₁y₂) + (x₁y₂+ x₂y₁)√2

Da ℚ ein Körper ist und damit additiv und multiplikativ abgeschlossen ist, gilt (x₁x₂ + 2y₁y₂)∈ℚ und (x₁y₂+ x₂y₁)∈ℚ. Also gilt a·b ∈ K

ad III): Sei a∈K, mit x, y ∈ ℚ sodass gilt:

a = x + y√2

Jetzt ist:

-a = -(x + y√2) = -x - y√2 = (-x) + (-y)√2

Da ℚ ein Körper ist und somit bezüglich der Negation abgeschlossen ist, gilt (-x)∈ℚ und (-y)∈ℚ. Also gilt (-a)∈K.

ad IV): Sei a∈K, mit x, y ∈ ℚ sodass gilt:

a = x + y√2

Jetzt ist:

a^-1 = 1/(x+y√2)

Erweitere den Bruch mit (x-y√2) sodass unten die dritte binomische Formel verwendet werden kann.

$$ \frac { x - y \sqrt { 2 } } { ( x + y \sqrt { 2 } ) ( x - y \sqrt { 2 } ) } = \frac { x - y \sqrt { 2 } } { x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } = \frac { x } { x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } + \frac { - y } { x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } \sqrt { 2 } $$

Da ℚ ein Körper ist und damit additiv und multiplikativ abgeschlossen ist, gilt (x/(x²-2y²))∈ℚ und (-y/(x²-2y²))∈ℚ. Also gilt a^-1∈K.

Da alle vier Punkte erfüllt sind, ist K also ein Teilkörper von ℝ.

Comments

Vielen ,vielen dank! DIese aufgabe hat mir kopfschmerzen bereitet.Aber ersnthaft - wo hast du das gelernt??

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Ganz im Ernst?
Überhaupt nicht.

Ich studiere Physik und kenn mich deshalb ein bisschen mit Mathematik aus aber eigentlich nur in den Bereichen, die man auch praktisch anwenden kann, also nicht in Gruppentheorie und sowas.

Für diese ganzen Beweise schau ich einfach bei Wikipedia nach, welche Bedingungen erfüllt sein müssen und leite die dann her. Glaub nicht, dass ich das alles auswendig kann. :-)

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"ein bisschen" Ja? Haha das ist für mich schon Guru-Level.Also Beweise kann ich mit hilfe von wikipedia hinbekommen? Was tippst du denn da ein?

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Für die Aufgabe hier zum Beispiel hab ich kurz nachgelesen, was ein Teilkörper ist... ;-)

Das klingt jetzt wahrscheinlich ein bisschen nach Zauberei, aber wenn man ein bisschen Erfahrung mit der mathematischen Sprache hat, dann weiß man, wo die Knackpunkte liegen. Mir war z.B. von Anfang an klar, dass die Punkte I, II und III relativ leicht zu beweisen sind und IV einen Kniff benötigt.
Den Kniff hab ich mir allerdings von den komplexen Zahlen abgeschaut, da teilt man nämlich durch eine komplexe Zahl, indem man mit ihrem konjugiert komplexen erweitert. Das ist quasi genau das, was ich hier gemacht habe.

Es ist also eine gute Mischung aus Erfahrung, Intuition und Wikipedia :-)

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Hi, erstmal vielen Dank für die Mühe, hilft schon sehr weiter.

Nur verstehe ich nicht ganz, wieso man nur die Abgeschlossenheit und das inverse Element zeigen muss, nicht aber das neutrale Element... Steht ja zB auch in der Einleitung von Wiki -> Untergruppen, dass sich das neutrale Element eigentlich nicht einfach dadurch überträgt, dass G Teilmenge von H ist.

Gruß, Vekxx

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Das ist richtig.
Aus der Existenz des Inversen in H und der Abgeschlossenheit von H, folgt allerdings, dass auch das neutrale Element in H liegt, denn:

Sei a ∈ H, dann folgt: a^-1∈H. Wegen a, a^-1 ∈ G folgt außerdem:

a·a^-1 = e_G

Wegen a, a^-1 ∈ H gilt aber wegen der Abgeschlossenheit auch e_G ∈ H also sind Einselement in G und H identisch, insbesondere liegt das Einselement in H.

Das kann man natürlich genauso auch auf Addition übertragen, wenn man statt a^-1 einfach -a verwendet.

Answer 2

Ich hätte auch noch eine frage.

Wieso ist Q(√2) = x+y√2 ∈ R

Also warum wird die √2 nur am y multipliziert und nicht  am x?!

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Das ist eine Definition.

Man definiert Q(√2) als die Menge der Zahlen, die man erhält, wenn man über dem Körper der rationalen Zahlen ine Menge durch die Basis {1, √2} aufspannt. Alle Zahlen, die sich so darstellen lassen, liegen in Q(√2), alle anderen nicht.

Nicht in dieser Menge liegt z.B. √3, da es keine rationale Zahl y gibt, sodass y√2=√3 gilt.