Sei p \neq 2,3 eine Primzahl, q=p^{n} für ein n \in \mathbb{Z} und K ein Körper mit q Elementen. Beweisen Sie:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( p \neq 2,3 \) eine Primzahl, \( q=p^{n} \) für ein \( n \in \mathbb{Z} \) und \( K \) ein Körper mit \( q \) Elementen. Beweisen Sie:
(a) Falls \( q \equiv 1 \bmod 3 \), hat die Gleichung \( x^{3}=1 \) drei unterschiedlichen Lösungen in \( K \).
(b) Falls \( q \equiv 2 \bmod 3 \), ist das Polynom \( x^{2}+x+1 \in K[x] \) irreduzibel.
(c) Folgern Sie: \( -3 \in K \) ist ein Quadrat genau dann, wenn \( q \equiv 1 \bmod 3 \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen? Ich weiß nicht ganz wo ich anfangen soll.

Comments

Die a und b habe ich jetzt. Aber was mache ich bei der c)

$$x^2=-3 mod q$$? aber wie soll ioch das machen?