X diskrete Zufallsvariable: Beispiel geben, bei dem die Gleichheit erfüllt ist

Question

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit $$0\notin X(\Omega )\quad und\quad E (X)\neq 0$$.

Aufgabenteil a) war, dass man ein Beispiel geben soll, in dem folgende Gleichheit

$$E ({ X }^{ -1 })=\frac { 1 }{ E (X) } $$

nicht gilt. Das war auch noch ok.

Jetzt soll ich in Aufgabenteil b) ein Beispiel geben, bei dem die Gleichheit erfüllt ist. (Zufallsvariablen X mit $$P(X=c)=1\quad für\quad ein\quad c\in R$$ seien ausgeschlossen!)

Da habe ich schon wirklich viel ausprobiert komme aber zu keiner Lösung :(

Ich habe mir ein X mit 2 Elemten genommen, bei dem jedes Element eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 hat, da komme ich dann aber immer nur zur Lösung a=b, was ja nach Aufgabestellung ausgeschlossen ist. Dann habe ich das noch mit anderen Wahrscheinlichkeiten (2/3 und 1/3,...) ausprobiert, aber nie bekomme ich zwei verschiedene Werte heraus...

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man da vorgehen kann?

Danke :)

Comments

Wie habt ihr genau: "Inverse einer Zufallsvariablen" definiert? Als Umkehrfunktion?

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Ja, also wenn z.B. X={2,3} ist das Inverse {1/2, 1/3}

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Wenn du etwas nimmst, mit Erwartungswert 1?

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Mhm das klappt bei mir auch nicht.

Habe jetzt $$X={ 4/7, 1/4} $$. Mit beiden einer W.keit von 1/2.

Dann ist $$\frac { 1 }{ E(X) } =1$$

und $$E({ X }^{ -1 })=\frac { \frac { 7 }{ 4 } +\frac { 16 }{ 4 }  }{ 2 } =3\neq 1$$

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ups verrechnet E(X^-1)= 23/8

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Wie hast du gerechnet, dass  1/E(X) = 1 sein soll?

Nimm vielleicht

X = a, b beide mit Wahrsch. 1/2

Oder a mit Wahrsch. p und b mit Wahrsch. q = 1-p.

Dann kommst du auf ein paar Gleichungen mit ein paar Unbekannten.

Das nur als Idee. Keine Ahnung, ob das klappt.

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ja, das stimmt bei mir so auch nicht mit E(X)=1

habe das X und X^-1 vertauscht gehabt...

Aber es klappt leider trotzdem nicht...

$$\frac { 1 }{ E(X) } =\frac { 1 }{ \frac { 7+1 }{ 4 } *\frac { 1 }{ 2 }  } =1/1=1$$

und $$E({ X }^{ -1 })=\frac { \frac { 32 }{ 7 }  }{ 2 } =\frac { 16 }{ 7 } $$

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Das hatte ich auch schon probiert gehabt dann kam ich auf

$$\frac { 1 }{ (a+b)*1/2 } =\frac { 1/a+1/b }{ 2 } $$

kam dann aber immer nur auf Ergebnisse mit a=b und das soll ja nach der Aufgabenstellung nicht das Beispiel sein