Werden invertierbare quadratische Matrizen mit Addition des Vielfachen einer Zeile zuanderen auf Diagonalform gebracht?

Question

Zeigen Sie, dass jede invertierbare Matrix A ∈ M nxn (ℝ) durch ausschlieliche Verwendung der
elementaren Zeilenumformung "Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen"
auf Diagonalgestalt gebracht werden kann mit den Diagonalelementen [1, ... , 1, d], wobei d ≠ 0

Danke für die Mühe

Answer 1

Wenn die Matrix invertierbar ist, können in der ersten Spalte nicht nur Nullen stehen.
Wähle also eine Zeile, in der in der ersten Spalte keine Null steht , sondern ein b<>0
Vervielfache diese Zeile mit (1-a₁₁)/b [geht, da b<>0] und addiere zur 1. Zeile.

So ist jedenfalls an der Position a₁₁ eine 1 entstanden.
Von dieser neuen 1. Zeile wird das -a_2,1-fache zur 2. Zeile ,
das -a_3,1-fache zur 3. Zeile addiert und so fort.
Danach ist in der 1. Spalte der 1. kanonische Basisvektor
von IRⁿ entstanden: 1. Komponente 1 und sonst alles Nullen.

Nun orientiert man sich an der 2. Spalte der Matrix.
An den Positionen 2 bis m stehen nicht nur Nullen, den sonst
wären die ersten beiden Spalten lin. abh. und A wäre nicht invertierbar.
Also wählt man in der 2. Spalte von den Positionen 2 bis n wieder
eine Position i, an der keine Null sondern ein b ungleich Null steht.
Die (1-a_2,2)/b - fache der i-ten Zeile wird nun zur Zeile 2 addiert.
Dann beginnt die 2. Zeile mit  0  1  .......
Das  -a_1,2-fache dieser neuen 2. Zeile wird nun zur 1. Zeile
addiert und da a_2,1 = 0 ist, wird die 1. Position der 1. Zeile dadurch
nicht verändert und an der 2. Position der 1. Zeile entsteht 0
Ebenso wird zu allen anderen Zeilen i jeweils das
-a_i,2-fache der neuen 2. Zeile addiert und so entsteht in der 2. Spalte
der 2. kanonische Basisvektor: 2. Komponente 1 sonst Nullen.

Dies wird mit der 3.  ,  4.  etc. Zeile entsprechend fortgesetzt, bis in
der (n-1)-ten Spalte der (n-1)-te kanonische Basisvektor entstanden ist.
Dann kann bei a_n,n keine Null stehen, denn sonst wäre die n-te Spalte
von den ersten n-1 Spalten lin. abh. im Widerspruch zur Invertierbarkeit
der Matrix.   Dort steht also ein d ungleich Null und ansonsten sind
in der n-ten Zeile alles Nullen.
Diese n-te Zeile wird nun für jedes i<n mit -ai,n/d (möglich, da d ungleich Null)
vervielfacht und zur i-ten Zeile addiert. Dann ist die n-te Spalte das
d-fache des n-ten kanonischen Basisvektors und A hat die
geforderte Diagonalgestalt.