Vollständige Induktion mit Summe

Question

Ich habe eine Frage bzgl. der Umformung unten, wie muss ich bei der Summe das n+1 herausziehen und wie wird das x^n-k y^k-1 umgeschrieben? Muss n+1 in die Potenz von x u. y? Irgendwie weiß ich bei dieser Form nicht was korrekt wäre und wo was hinkommt... hoffe mich kann jemand erleuchten. :)

Comments

Deine Summe bei 2 sieht schon falsch aus. n+1 müsste auch im Exponten von x stehen:

$$ \sum_{k=1}^{n+1} x^{n+1-k}y^{k-1} $$

Hier musst du jetzt ein wenig mehr an der Summe rumspielen als nur das n+1-Glied aus der Summe rauszunehmen.

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Hi Yakyu, ich hab es nun einmal probiert, danke für deinen Tipp.

ich habe aus der Summe x+1 herausgezogen und nochmal das eine x aus dem x^n+1-k

wäre das hier nun korrekt?

∑ⁿ_{mit k = 1}   x^n-k y^k-1 * x + x^n+1-k y^k-1

dann würde ich die ∑ nun mit (xⁿ -yⁿ) / (x-y) ersetzen.

Ich weiß nur noch nicht wie ich mit dem k in den Exponenten umgehen soll... die dürfen ja am Ende nicht mehr drin sein oder?

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Hier nochmal mit dem Mathe App (gerade erst gesehen)

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Hi sorry aber

"ich habe aus der Summe x+1 herausgezogen" <- was erzählst du da bitte?

∑ⁿ_{mit k = 1}   x^n-k y^k-1 * x + x^n+1-k y^k-1  <- damit kann man schon was anfangen richigt müsste es aber heißen

x*(∑ⁿ_{mit k = 1}   x^n-k y^k-1) + x^n+1-(n+1) y^(n+1)-1  <- da du ja das letzte glied  (k = n+1) da rausziehst. Außerdem geht aus deiner Notation nicht hervor, dass das x aus der Summe ausgeklammert wurde).

dann würde ich die ∑ nun mit (xⁿ -yⁿ) / (x-y) ersetzen <- ja genau, alles auf einen Hauptnenner bringen und zusammenrechnen und du bist fertig ;)

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Sorry, ich meinte natürlich das x+1 oben im Summensymbol, also den letzten Summanden "herausziehen". :) Wie nennt man das denn in "professionell"?

Ahhh wow... danke nun hab ichs glaub ich verstanden mit dem Index k. Oh man.. ja diese Kleinigkeiten muss man einfach mal gezeigt bekommen, sonst rätselt man da stundenlang herum wie das gemeint ist. Ich probier mal weiter. :D

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Den letzten Summanden herausziehen ist das professionelste was ich kenne :D

Es macht aber trotzdem keinen Sinn x+1 zu schreiben, du meinst das n+1-Glied ;)

Answer 1

nach den Kommentaren ist ja klar: Die Summe geht von k=1 bis n+1
und die Summanden sind x^n+1-k * y ^k-1  
das ist ja gleich x*x^n-k * y ^k-1 .  Also kannst du letzteres in die Summe schreiben
und schreibst den letzten Summanden (also der mit k=n+1) dahinter, der ist x^0 * y^n .
Dann klammerst du bei den ersten n Summanden das x aus und hast:

x * summe von k=1 bis n über x^n-k * y ^k-1    +   y^n

Das rote ist aber gerade die Ind-vor., also setzt du die ein

x *  ( x^n - y^n ) / (x-y)  +   y^n  beides auf gem. Nenner

= (x^{n+1} - x*y^n ) / (x-y)  +   y^n * (x-y) / (x-y)

= ((x^{n+1} - x*y^n + x*y^n  -  y^{n+1} ) / (x-y) Bingo!