Hi,
so wir bezeichnen zuerst den Würfel der Bank mit WB und die Würfel des Spielers mit W1 und W2 (W2 sei der Würfel mit zwei 6en).
Ziel ist es die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass der Spieler gewinnt. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass einer der Würfel eine höhere oder gleiche Zahl wie der Würfel der Bank zeigt.
Betrachten wir das ganze doch erstmal für den konkreten Fall, dass die Bank die Zahl \(k\in \{1,...,6\} \)würfelt:
$$ P(WB = k) = \frac{1}{6} $$
Allgemein gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Bank die Zahl \( k \) würfelt, und der Spieler mit dem einen Würfel W1 die Zahl \(m \) und mit dem Würfel die Zahl \( n \) würfelt:
$$ P(WB = k, W1 = m, W2 = n) = P(WB = k) \cdot P(W1 = m) \cdot P(W2 = n) $$
da ja die Würfe voneinander unabhängig sind.
Hat die Bank nun die Zahl \(k\) gewürfelt, so gewinnt der Spieler ja wenn die Zahl von W1 oder W2 größer gleich \(k\) ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist zwar berechenbar, allerdings kann man über das Gegenereignis, diese leichter ermitteln als durch blosses abzählen. Das Gegenereignis ist ja, dass der Spieler verliert, also dass W1 und W2 kleiner als \(k\) würfeln.
Also:
$$ P(W1 \geq k \cup W2 \geq k) = 1 - P(W1 < k \cap W2 <k)$$ $$= 1 - P(W1 <k)\cdot P(W2<k)$$
Für den Fall \( k = 1 \) gewinnt der Spieler ja aufjedenfall, also schauen wir uns den Fall \( k \geq 2 \) an.
Für den normalen Würfel W1 gibt es \( k-1\) Möglichkeiten, eine Zahl kleiner als \(k\) zu würfeln. Für den speziellen Würfel W2 gibt es \( k - 2 \) Möglichkeiten eine Zahl kleiner als \(k\) zu würfeln. Also gilt ingesamt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Bank \(k\) wirft und der Spieler gewinnt:
$$P(WB = k) \cdot \left( 1 - P(W1 <k)\cdot P(W2<k) \right)= \frac{1}{6} \cdot (1- \frac{(k-1)\cdot(k-2)}{6^2} )$$
Für die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der Spieler gewinnt müssen die Wahrscheinlichkeiten für alle Fälle k = 1,..,6 addiert werden
$$ P("Spieler \ Gewinnt") = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6} (1- \frac{(k-1)\cdot(k-2)}{6^2} )$$
Der Fall k = 1 wird von der Formel abgedeckt!
Theoretisch könntest du auch zuerst das Ereignis, der Spieler verliert:
$$ P("Spieler \ verliert") = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} \frac{(k-1)\cdot(k-2)}{6^2} $$
berechnen (beachte den Anteil der Formel zu der oberen Formel). Dann ergibt sich ja
$$ P("Spieler \ gewinnt") = 1 - P("Spieler \ verliert") $$
Jacke wie Hose.
Gruß
